\documentclass[12pt]{annales}
\usepackage{geometry,pst-plot}
\geometry{tmargin=15mm,lmargin=1cm}
\begin{document}

\hskip-2mm
\begin{tabular}{|p{19cm}|}\hline
\taille{11}
\textit{\textbf{Les calculatrices de poche sont autorisées conformément à la circulaire n° 86-228 du 28 juillet 1986.
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante
dans l'appréciation des copies.}}\\
\hline
\end{tabular} 

\bigskip
\textbf{EXERCICE : 8 points.}

Dans un bâtiment d'architecture originale, on souhaite partager par une cloison une pièce en deux conformément au plan et au descriptif suivants :

\medskip
\begin{minipage}{105mm}
\textbf{Plan}

\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(20,17)
\psarc(11,6.8){9.94}{36.87}{216.6}
\psline(1.3,8.8)(19,8.8)
\psline(19,12.8)(19,1)(3,1)
\psline[linestyle=dashed](3,1)(19,12.8)
\psline[linestyle=dashed](11,11)(11,0.8)
\psline[linestyle=dashed](1.1,8.8)(11,6.8)(19,1)
\psframe(18.4,1.6)(19,1)
\rput(19.7,12.8){$A$}
\rput(19.7,1){$B$}
\rput(2.2,0.8){$C$}
\rput(13.2,9.5){$D$}
\rput(0.5,8.8){$E$}
\rput(10.2,9.5){$F$}
\rput(19.7,8.8){$G$}
\rput(11,0.4){$H$}
\rput(12,6.9){$O$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
%
\begin{minipage}{8cm}
\textbf{Descriptif :}\\
\textbf{La pièce initiale a comme pourtour la ligne : $\boldsymbol{ABCEA}$.}\\
Le triangle $ABC$ est un triangle rectangle en~$B$.\\
$AB=6$ m et $BC=8$ m.\\
L'arc de courbe $CEA$ est le demi-cercle de diamètre [$AC$] d'extrémités $C$ et $A$.\\
$O$ est le milieu du segment [$AC$].\\
$H$ est le milieu du segment [$BC$].

\textbf{La cloison a pour trace au sol le segment [$\boldsymbol{EG}$].}\\
La droite ($EG$) est parallèle à la droite ($CB$).\\
$AG=2$ m.\\
La droite ($EG$) coupe la droite ($OH$) en $F$.\\
La droite ($EG$) coupe la droite ($AC$) en $D$.
\end{minipage}

\bigskip
\fbox{\qst \textbf{L'objectif de cette question est de calculer la longueur de la cloison.}}

\bigskip
\ssq Exprimer, en mètres, la longueur $AC$.
\ssq Montrer que $DG=\dfrac{8}{3}$ m.
\ssq Justifier le parallélisme des droites ($OH$) et ($AB$), en déduire que le quadrilatère $FGBH$ est un rectangle puis exprimer, en mètres, la longueur $FG$.
\ssq Donner la valeur exacte, en mètres, de la longueur $FD$.
\ssq En considérant les triangles $FOD$ et $DAG$, calculer la longueur $OF$ puis en déduire la valeur exacte, en mètres, de la longueur $EF$.
\ssq Exprimer, en mètres, la longueur $EG$. On donnera la valeur arrondie au centimètre.

\bigskip
\setcounter{NumeroSousQuest}{0}
\begin{tabular}{|p{18.5cm}|}
\hline
\textbf{2) L'objectif de cette question est d'indiquer quelle est la plus grande des deux pièces obtenues après l'implantation de la cloison.}\\\hline
\end{tabular} 

\bigskip
\ssq Exprimer, en mètres carrés, l'aire de la pièce initiale.
\ssq Exprimer, en mètres carrés, l'aire du trapèze $EGBC$.
\ssq Indiquer quelle est, des deux pièces obtenues, celle dont l'aire est la plus grande. On justifiera la réponse.

\vfill
\begin{tabular}{|p{8.5cm}|p{2.8cm}|p{2.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2001}\\\hline
Mathématiques
&%
\centering Durée : 2 h
&%
\centering Coef. : 3
&%
\centering Page 1/3\cr\hline 
\end{tabular}

\newpage



\numqst1
\textbf{PROBLÈME : 12 points.}

On considère la fonction $f$, de la variable $x$, définie sur l'intervalle [$-1$ ; 7] par $f(x)=\dfrac{6x-2}{(x + 2)^2}$.

Sur la page 3/3 le plan étant rapporté à un repère orthogonal ($Ox$ , $Oy$) d'unités graphiques 2 cm sur
l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées, on a fait figurer :\par
\qquad- la courbe $C$ représentative de la fonction $f$,\par
\qquad- un segment de la tangente $T$ à la courbe $C$ en son point d'abscisse 0.

\textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes.}

\medskip
\setcounter{NumeroSousQuest}{0}
\begin{tabular}{|p{18.5cm}|}
\hline
\textbf{1) Dans cette partie, on démontre certaines propriétés de la fonction $\boldsymbol{f}$ suggérées par le graphique de la page 3/3.}\\\hline
\end{tabular} 

\medskip
\ssq \textbf{Propriétés de $\boldsymbol{f}$ suggérées par la situation de la courbe $\boldsymbol{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.}

\sssq Montrer que dans l'intervalle [$-1$ ; 7] l'équation, d'inconnue $x$, $f(x)=0$ admet une solution et
une seule dont on donnera la valeur exacte.
\sssq Pour tout $x$ de l'intervalle [$-1$ ; 7], déterminer le signe de $f(x)$.

\medskip
\ssq \textbf{Propriétés de $\boldsymbol{f}$ suggérées par l'allure de la courbe $\boldsymbol{C}$}.

\sssq  Si $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$, prouver que,\\
pour tout $x$ de l'intervalle [$-1$ ; 7], $f'(x)=\dfrac{\strut -2(3x^2-2x-16)}{(x+2)^4}=\dfrac{-2(3x-8)}{(x+2)^3}$.
\sssq Établir le tableau de variation de la fonction $f$.
\sssq Calculer la valeur maximale prise par la fonction $f$ sur l'intervalle [$-1$ ; 7]. (on donnera la valeur exacte)
\sssq Calculer la valeur minimale prise par la fonction $f$ sur l'intervalle [$-1$ ; 7]. (on donnera la valeur exacte)

\medskip
\ssq \textbf{Propriété de $\boldsymbol{f}$ suggérée par la situation de la courbe $\boldsymbol{C}$ par rapport à la droite $\boldsymbol{T}$.}

\sssq Calculer le coefficient directeur de la droite $T$.
\sssq Donner une équation de la droite $T$.
\sssq  Pour tout $x$ de l'intervalle [$-1$ ; 7], montrer que 
$2x-\dfrac{1}{2}-f(x)=\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{x}{x+2}\right )^2(4x+15)$
puis en déduire que $f(x)\le 2x-\dfrac{1}{2}$. Conclure.


\bigskip
\setcounter{NumeroSousQuest}{0}
\begin{tabular}{|p{18.5cm}|}
\hline
\textbf{2) Dans cette partie, on calcule l'aire, exprimée en centimètres carrés, du domaine $\boldsymbol{D}$ du plan limité par la courbe $\boldsymbol{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $\boldsymbol{x=7}$.}\\\hline
\end{tabular} 

\ssq Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle [$-1$ ; 7], $f(x)=\dfrac{\strut 6}{x+2}-\dfrac{14}{(x+2)^2}$.
\ssq Déduire du résultat précédent une primitive $F$ de $f$ sur [$\dfrac{1}{3}$ ; 7].
\ssq  Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\int_{\frac{1}{3}}^7f(x)\,{\rm d}x$.
\ssq Exprimer, en centimètres carrés, l'aire du domaine $D$. On donnera la valeur exacte.

\vfill
\begin{tabular}{|p{8.5cm}|p{2.8cm}|p{2.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2001}\\\hline
Mathématiques
&%
\centering Durée : 2 h
&%
\centering Coef. : 3
&%
\centering Page 2/3\cr\hline 
\end{tabular}

\newpage

\textbf{courbe $\boldsymbol{C}$}

\vskip 4cm
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-9)(7.9,2.2)
\psaxes[Dy=2]{-}(0,0)(-1.5,-9)(7.9,2.2)
\psplot{-1.5}{2}{x 2 mul 0.5 sub}
\psplot{-1.5}{7}{x 6 mul 2 sub x 2 add dup mul div}
\end{pspicture*}

\vfill
\begin{tabular}{|p{8.5cm}|p{2.8cm}|p{2.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2001}\\\hline
Mathématiques
&%
\centering Durée : 2 h
&%
\centering Coef. : 3
&%
\centering Page 3/3\cr\hline 
\end{tabular}

\end{document}