\documentclass[12pt]{annales}
\usepackage{geometry,pst-plot}
\geometry{tmargin=15mm,lmargin=1cm}
\begin{document}

\begin{tabular}{|p{18cm}|}\hline
Les calculatrices de poche sont autorisées conformément à la circulaire n° 86-228 du 28 juillet 1986.
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante
dans l'appréciation des copies.\\
\hline
\end{tabular} 

\bigskip
\centerline{\underline{\textbf{EXERCICE}} (9 points)}

\bigskip
\begin{minipage}{9cm}
Une municipalité dispose d'un terrain sur lequel elle veut réaliser un parking, une piscine (avec un bassin de compétition et un petit bassin) et un espace vert selon le plan ci-contre (le dessin n'est pas à l'échelle).\\
Le parking sera réalisé dans le triangle $ABF$.\\
La piscine sera construite dans le trapèze $BDEF$ rectangle en $B$.\\
L'espace vert sera réalisé dans le demi-cercle de diamètre [$ED$].

\medskip
\textit{La figure en annexe est à compléter et à rendre avec la copie.}

\medskip
On donnera les longueurs demandées en les arrondissant au mètre (m) près et les aires au mètre carré (m$^2$) près.
\end{minipage}
%
\begin{minipage}{8cm}
\qquad\qquad
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(9,15)
\psarc[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.75,4.5){4}{-158.2}{21.8}
\psarc[fillstyle=vlines](4.75,4.5){4}{-158.2}{21.8}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,9.5)(8.5,9.5)(2.7,13.8)(1,9.5)
\psline(1,9.5)(1,3)(8.5,6)(8.5,9.5)
\psline[linestyle=dashed](1,6)(8.5,6)
\rput(2.7,14.3){$A$}
\rput(0.4,9.5){$B$}
\rput(0.4,6){$C$}
\rput(0.4,3){$D$}
\rput(9,6){$E$}
\rput(9,9.5){$F$}
\rput(4.75,7.7){\begin{footnotesize}Surface constructible\end{footnotesize}}
\rput(4,10.5){\begin{footnotesize}Parking\end{footnotesize}}
\rput(5,2.5){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\begin{footnotesize}Espace vert\end{footnotesize}}}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip
\qquad\qquad\underline{\textbf{I) Calcul de l'aire du parking.}}

\medskip
On désigne par $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABF$.\\
On donne $\hat{B}=63°$, $BH=50$ m et $AF=125$ m.
\qst Placer, sur la figure en annexe, le point $H$.\\
Calculer la longueur $AH$.
\qst Déterminer, au degré près, une mesure de l'angle $\hat{F}$ puis la longueur $FH$.
\qst En déduire que la longueur, arrondie au mètre près, du segment [$BF$] est $127$ m.\\
Calculer l'aire du triangle $ABF$.


\bigskip
\numqst1
\qquad\qquad\underline{\textbf{II) Calcul de l'aire de la surface constructible.}}

\medskip
On mesure $EF=60$ m.\\
$C$ est le point du segment [$BD$] tel que le quadrilatère $BCEF$ soit un rectangle.

\qst Placer, sur la figure en annexe, le point $I$ milieu de [$CE$] et tracer la parallèle à la droite ($CD$) passant par $I$. Elle coupe [$DE$] en $O$ et on a $OI=45$ m.\\
Calculer la longueur $CD$.

\qst En déduire la longueur $BD$.\\
Montrer que l'aire du trapèze $BDEF$ est égale à $13\, 335$ m$^2$.

\vfill
\begin{tabular}{|p{8.5cm}|p{2.8cm}|p{2.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2001}\\\hline
Mathématiques
&%
\centering Durée : 2 h
&%
\centering Coef. : 3
&%
\centering Page 1/4\cr\hline 
\end{tabular}

\newpage

\numqst1
\qquad\qquad\underline{\textbf{III) Calcul de l'aire de l'espace vert.}}

\medskip
\qst Calculer la longueur $ED$.
\qst En déduire l'aire du demi-disque de diamètre [$ED$].

\bigskip
\numqst1
\qquad\qquad\underline{\textbf{IV) Dimensions de la piscine.}}

\medskip
On veut construire une piscine rectangulaire dans la partie $BDEF$.\\
On appelle $x$ sa longueur. On impose que :

\qquad\qquad\textbullet\ 	la surface au sol de la piscine représente 40 \% de la surface totale de la partie $BDEF$,

\qquad\qquad\textbullet\ 	la largeur de la piscine soit inférieure de $60$ m à sa longueur.

\qst Exprimer la largeur de la piscine puis l'aire de sa surface au sol en fonction de $x$.
\qst Montrer que $x$ est solution de l'équation : $x^2-60x-5\,334=0$.
\qst Résoudre cette équation.
\qst En déduire une valeur approchée, arrondie au mètre près, de chacune des dimensions de la piscine.

\numqst1
\bigskip
\centerline{\underline{\textbf{PROBLEME}} (11 points)}

\bigskip
Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$ d'unités graphiques 4 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées. On note $I$ l'intervalle ]0 ; $+\infty$[.\\
Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de $I$ par : $f(x)=3-x^2+2\ln x$.\\
On appelle $C$ la courbe représentative de $f$ dans le repère ci-dessus.

\Qst Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0. En déduire que la courbe $C$ admet une asymptote dont on donnera une équation.

\Qst Vérifier que, pour tout $x$ de $I$, $f(x)=3-x\left(x-2\,\dfrac{\ln x}{x}\right)$ ; en déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

\Qstssq Montrer que, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)=\dfrac{2-2x^2}{x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\ssq Vérifier que, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)=\dfrac{\strut 2(1-x)(1+x)}{x}$.
\ssq En déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $\strut I$, puis établir le tableau de variation de $f$.

\vfill
\begin{tabular}{|p{8.5cm}|p{2.8cm}|p{2.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2001}\\\hline
Mathématiques
&%
\centering Durée : 2 h
&%
\centering Coef. : 3
&%
\centering Page 2/4\cr\hline 
\end{tabular}

\newpage

\qst Reproduire et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira les valeurs à $10^{-1}$ près) :

\bigskip
\begin{tabular}{|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|}\hline
\centering $x$
&
\centering 0,5
&
\centering 0,75
&
\centering 1
&
\centering 1,5
&
\centering 2
&
\centering 3
&
\centering 3,5
\cr\hline
\centering $f(x)$
&
&
&
\centering 2
&
&
\centering 0,4
&
&
\\\hline 
\end{tabular} 

\bigskip
\Qst Tracer la courbe $C$ (sur une feuille de papier millimétrique qui sera rendue avec la copie).

\Qst Soit la fonction $F$ définie pour tout $x$ de $I$ par : $F(x)=x-\dfrac{1}{3}\,x^3+2x\ln x$.
\ssq Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.
\ssq Hachurer la région délimitée par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.
\ssq Calculer la valeur exacte de l'aire de cette région en unités d'aire, puis en cm$^2$.\\
Donner une valeur approchée de cette dernière à $10^{-2}$ près.

\vfill
\begin{tabular}{|p{8.5cm}|p{2.8cm}|p{2.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2001}\\\hline
Mathématiques
&%
\centering Durée : 2 h
&%
\centering Coef. : 3
&%
\centering Page 3/4\cr\hline 
\end{tabular}

\newpage



{\taille{20}\underline{ANNEXE}}
\qquad\qquad
(à rendre avec la copie)

\vskip 3cm

\centerline{%
\psset{unit=5mm}
\taille{20}
\begin{pspicture}(16,30)
\psarc(8.3,8.5){7.74}{-145}{37}
\psline(2,19)(14.6,19)(7,28.8)(2,19)(2,4)(14.6,13)(14.6,19)
\psline[linestyle=dashed](2,13)(14.6,13)
\rput(7,30){$A$}
\rput(1,19){$B$}
\rput(1,13){$C$}
\rput(1,4){$D$}
\rput(15.5,13){$E$}
\rput(15.5,19){$F$}
\end{pspicture}
}









\vfill
\begin{tabular}{|p{8.5cm}|p{2.8cm}|p{2.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2001}\\\hline
Mathématiques
&%
\centering Durée : 2 h
&%
\centering Coef. : 3
&%
\centering Page 4/4\cr\hline 
\end{tabular}

\end{document}