\documentclass[12pt]{annales}
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\geometry{tmargin=15mm,lmargin=1cm}
\begin{document}


\begin{center}

{\taille{22}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN}}

\vskip 8mm
{\taille{24}\textbf{ENCADREMENT DE CHANTIER}}

\vskip 13mm
{\taille{18}\textbf{Session 2003}}

\vskip 32mm
{\taille{22}\textbf{MATHEMATIQUES}}

\vskip 22mm
{\taille{16}Dur�e : 2 heures - Coefficient: 3}

\end{center} 

\vskip 2cm

\begin{tabular}{|p{\linewidth}|}\hline
\textit{Les calculatrices de poche sont autoris�es conform�ment � la circulaire n�86-228 du 28 juillet 1986. La clart� des raisonnements et la qualit� de la r�daction interviendront pour une part importante dans l'appr�ciation des copies.}\\\hline
\end{tabular} 

\vskip 15mm
Le sujet n�cessite une feuille de papier millim�tr�.

\newpage

\centerline{\textbf{EXERCICE (9 points)}}

\medskip
Un grand magasin veut repr�senter son logo � l'entr�e du parking client�le, selon la figure 1 de la feuille annexe jointe.\\
Le demi-disque de diam�tre [$AB$], not� $\Sigma$, les surfaces d�limit�es par les triangles $BEI$ et $CDI$ seront peintes en rouge et la surface d�limit�e par le quadrilat�re $ABIH$ sera peinte en blanc.\\
L'unit� de longueur adopt�e est le m�tre. L'unit� d'aire est le m�tre carr�.

\bigskip
\underline{\textbf{I . Calcul de l'aire de la surface peinte en blanc (Voir la figure 2 de la feuille annexe)}}

\qst $ABCD$ est un carr� de c�t� 18. Le point $E$ est sur la demi-droite [$AB$), hors du segment [$AB$], 	tel que $BE =6$.\\
Calculer $DE$.

\qst La droite ($DE$) coupe la droite ($BC$) en $I$.
\ssq Montrer que : $BI=4,5$.
\ssq Calculer l'aire du trap�ze $ABID$.

\qst Le point $H$ est � l'intersection de la droite ($DE$) et de la droite perpendiculaire � ($DE$) passant par~$A$.
\ssq En utilisant les triangles $ADH$ et $ADE$, montrer que les angles $\widehat{DAH}$ et $\widehat{AED}$ ont m�me mesure. 
\ssq Exprimer les sinus des angles $\widehat{DAH}$ et $\widehat{AED}$ dans les triangles $ADH$ et $ADE$ respectivement.\\
En d�duire la valeur exacte de $DH$.
\ssq D�terminer $AH$ et l'aire du triangle $AHD$.

\qst Montrer que l'aire de la surface peinte en blanc est �gale � 124,74 m$^{2}$.

\medskip
\numqst1
\underline{\textbf{II. Calcul de l'aire de la surface $\boldsymbol{\Sigma}$ hachur�e sur la figure 3 de la feuille annexe.}}

\qst Soit $O$ le milieu du segment [$AI$] et soit $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de diam�tre [$AI$].\\
Justifier que ce cercle $\Gamma$ passe par le point $B$.

\qst La droite passant par $O$ et parall�le � ($BI$) coupe la droite ($AB$) en $K$ et l'arc 
\unitlength 1.3em
$\stackrel{\begin{picture}(1,0)
\qbezier(0.2,0)(0.6,0.3)(1,0)
\end{picture}}
{AB}$
(trac� en trait plein) en $F$.
\ssq Calculer $OK$ et l'aire du triangle $AOK$. En donner les valeurs exactes.
\ssq Calculer $AO^2$.
\ssq Calculer la valeur exacte de $\tan\widehat{AOK}$.\\
En d�duire la valeur approch�e, � $10^{-4}$ pr�s par d�faut, de $\widehat{AOK}$, en radians. 
\ssq D�terminer l'aire du secteur angulaire $AOF$, en arrondissant � $10^{-2}$ pr�s.\\
En d�duire l'aire de $\Sigma$ � $10^{-2}$ pr�s.\\
Rappel : l'aire du secteur angulaire d'angle $\alpha$ et de rayon $r$ est $\dfrac{r^2\alpha}{2}$, $\alpha$ �tant en radians.

\bigskip
\numqst1
\underline{\textbf{III. Calcul de l'aire de la surface peinte en rouge.}}

\qst Calculer les aires des triangles $BEI$ et $CDI$.

\qst D�terminer l'aire de la surface peinte en rouge, � $10^{-2}$ pr�s.

\vskip 2cm
\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2003}\\\hline
\centering\textbf{MATHEMATIQUES}
&%
\centering\textbf{Dur�e : 2 h}
&%
\centering\textbf{Coefficient 3}
&%
\centering\textbf{Page 1/3}\cr\hline 
\end{tabular}


\newpage

~~~~~\underline{\textbf{FEUILLE ANNEXE DE L'EXERCICE}}

\psset{unit=5mm}

\begin{tabular}{p{8cm}p{8cm}}
~~~~~\raisebox{5cm}{\textbf{Figure 1}}&
\begin{pspicture}(14,15)
\psarc(5.5,10){4.5}{0}{180}
\psline(10,10)(13,10)(1,1)(10,1)(10,7.8)
\psline(5.5,4.5)(1,10)
\psline[linestyle=dashed](10,10)(1,10)(10,7.8)
\rput(0.5,10){$A$}
\rput(10.5,10.5){$B$}
\rput(13.5,10){$E$}
\rput(10.5,7.4){$I$}
\rput(6,4){$H$}
\rput(0.5,1){$D$}
\rput(10.5,1){$C$}
\end{pspicture}
\end{tabular} 

\begin{tabular}{p{8cm}p{8cm}}
~~~~~\raisebox{5cm}{\textbf{Figure 2}}&
\begin{pspicture}(14,15)
\psframe(9.5,9.5)(10,10)
\psline(1,1)(1,10)(10,10)(10,1)(1,1)
\psline(10,10)(13,10)(1,1)
\psline(1,10)(5.5,4.3)
\rput{36.87}(5.5,4.3){\psframe(0.5,0.5)}
\rput(0.3,10.5){$A$}
\rput(10.5,10.5){$B$}
\rput(13.2,10.5){$E$}
\rput(10.5,7.4){$I$}
\rput(6,4){$H$}
\rput(0.3,1){$D$}
\rput(10.5,1){$C$}
\end{pspicture}
\end{tabular} 

\begin{tabular}{p{8cm}p{8cm}}
~~~~~\raisebox{5cm}{\textbf{Figure 3}}&
\begin{pspicture}(14,15)
\psarc[fillstyle=vlines](5,5){4.7}{11.77}{168.23}
\psarc[linestyle=dashed](5,5){4.7}{168.23}{371.77}
\psline(5,9.7)(5,4.9)(9.6,6)(9.5,3.7)(0.4,6)(9.6,6)
\psline{->}(12.5,10.5)(7.5,7.5)
\rput(-0.3,6){$A$}
\rput(10.3,6){$B$}
\rput(13.2,10.5){$\Sigma$}
\rput(5,10.3){$F$}
\rput(4.2,6.8){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid]{$K$}}
\rput(10,3.5){$I$}
\rput(5,4.2){$O$}
\rput(1,1){$\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{tabular} 



\vfill
\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2003}\\\hline
\centering\textbf{MATHEMATIQUES}
&%
\centering\textbf{Dur�e : 2 h}
&%
\centering\textbf{Coefficient 3}
&%
\centering\textbf{Page 2/3}\cr\hline 
\end{tabular}

\newpage
\parskip 2mm
\numqst1
\centerline{\textbf{PROBLEME (11 points)}}

\medskip
On se propose d'�tudier la fonction num�rique $f$ d�finie, pour tout nombre r�el $x$, par : \[f(x)=2x+4-{\rm e}^x.\]

On appelle $C$ la courbe de $f$ dans un rep�re orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$ avec pour unit�s graphiques 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonn�e.

\qst Calculer $f(0)$ et $f(\ln2)$. Donner les valeurs exactes.

\qst V�rifier que, pour tout nombre r�el $x$ non nul, $f(x)=x\left (2+\dfrac{4}{x}-\dfrac{{\rm e}^x}{x}\right )$.\\
En d�duire la limite de $f$ en $+\infty$.

\qstssq D�terminer la limite de $f$ en $-\infty$. 
\ssq D�terminer la limite de $f(x)-(2x+4)$ quand $x$ tend vers $-\infty$.\\
En d�duire que la droite $D$, d'�quation $y = 2x + 4$, est une asymptote oblique � la courbe $C$.

\qstssq Pour tout nombre r�el $x$, calculer $f'(x)$, $f'$ d�signant la fonction d�riv�e de $f$.
\ssq R�soudre, dans l'ensemble des nombres r�els, l'�quation $f'(x)=0$, puis l'in�quation $f'(x)>0$.
\ssq Dresser le tableau de variation de $f$. Pr�ciser la valeur exacte de l'extremum de $f$.

\qst D�terminer une �quation de la tangente $T$ � la courbe $C$ de $f$ au point $A$ d'abscisse 0.

\qst Compl�ter le tableau avec des valeurs approch�es � 0,01 pr�s par d�faut :\\[1ex]
\begin{tabular}{|p{20mm}|p{20mm}|p{20mm}|p{20mm}|p{20mm}|p{20mm}|p{20mm}|}\hline
\centering $x$
&
\centering $-1$
&
\centering 0
&
\centering 0,5
&
\centering 1
&
\centering 2
&
\centering 3
\cr\hline
\centering $f(x)$	&  &  &  &  &  &\\\hline
\end{tabular}

\medskip
\qst Tracer les droites $T$ et $D$ et la courbe $C$.

\qstssq D�terminer une primitive $F$ de $f$ sur l'ensembre des nombres r�els. 
\ssq Soit $\Delta$ la partie du plan d�limit�e par la courbe $C$, les axes du rep�re et la droite d'�quation $x=2$.\\
Hachurer $\Delta$.\\
D�terminer la valeur exacte de l'aire de $\Delta$, en unit�s d'aire. Puis, en donner une valeur approch�e arrondie au mm$^{2}$.

\vfill
\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{3}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\textbf{Session 2003}\\\hline
\centering\textbf{MATHEMATIQUES}
&%
\centering\textbf{Dur�e : 2 h}
&%
\centering\textbf{Coefficient 3}
&%
\centering\textbf{Page 3/3}\cr\hline 
\end{tabular}


\end{document}