\documentclass[12pt,annales]{profmath}
%\usepackage{geometry,pst-plot}

\begin{document}


\begin{center}

{\taille{22}\textbf{BREVET DE TECHNICIEN}}

\vskip 8mm
{\taille{24}\textbf{ENCADREMENT DE CHANTIER}}

\vskip 13mm
{\taille{18}\textbf{Session 2004}}

\vskip 32mm
{\taille{22}\textbf{MATH\'EMATIQUES}}

\vskip 22mm
{\taille{16}Durée : 2 heures - Coefficient: 3}

\end{center} 

\vskip 2cm

\begin{tabular}{|p{\linewidth}|}\hline
\centering\textbf{\textit{Les calculatrices de poche sont autorisées conformément à la circulaire n°86-228 du 28 juillet 1986.}}
\tabularnewline
\centering\textbf{\textit{Le formulaire officiel de mathématiques est autorisé.}}
\tabularnewline
\centering\textbf{\textit{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}}
\tabularnewline\hline
\end{tabular} 

\vskip 15mm
Le sujet nécessite une feuille de papier millimétré.



\vfill
\centerline{
\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{2}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\multicolumn{2}{r|}{\textbf{Session 2004}}\\\hline
\centering\textbf{MATHEMATIQUES}
&%
\centering\textbf{Durée : 2 h}
&%
\centering\textbf{Coefficient 3}
&%
\multicolumn{1}{r|}{\textbf{Page 1/4}}
\cr\hline 
\end{tabular}
}

\newpage


\centerline{\textbf{\underline{EXERCICE} (8 points)}}



\hfil
%
\psset{unit=5mm}
%
\begin{pspicture}(14,18)
%
\psEllipse(5.5,9)(2,0.7){-180}{0}{0}
\psEllipse[linestyle=dotted](5.5,9)(2,0.7){0}{180}{0}
%
\psellipse(5.5,14)(4,1.5)
%
\psline{<->}(11.5,4)(11.5,9)
\psline{<->}(11.5,9)(11.5,14)
\psline{<->}(1.5,17)(9.5,17)
\psline{<->}(3.5,1)(7.5,1)
%
\psline(3.5,9)(1.5,14)
\psline(7.5,9)(9.5,14)
\psline[linestyle=dashed](3.5,1)(3.5,9)(5.5,4)(7.5,9)(7.5,1)
\psline[linestyle=dashed](11.5,14)(5.5,14)(5.5,4)(11.5,4)
\psline[linestyle=dashed](5.5,9)(11.5,9)
\psline[linestyle=dashed](1.5,14)(1.5,17)
\psline[linestyle=dashed](9.5,14)(9.5,17)
%
\psframe(5.5,13.6)(5.9,14)
\psframe(5.5,8.6)(5.9,9)
%
\rput(5.5,17.8){6 dm}
\rput(5,14){$B$}
\rput(10.2,14.7){$B'$}
\rput(13,11.5){3 dm}
\rput(5,9){$A$}
\rput(8,8.5){$A'$}
\rput(12,6.5){$h$}
\rput(5.5,3.5){$O$}
\rput(1,2){\underline{fig. 1}}
\rput(5.5,0.3){3 dm}
%
\end{pspicture}
%
\hfil
%
\begin{pspicture}(14,18)
%
\psEllipse(5.5,9)(2,0.7){-180}{0}{0}
\psEllipse[linestyle=dashed](5.5,9)(2,0.7){0}{180}{0}
\psEllipse(5.5,11)(2.8,0.8){-180}{0}{0}
\psEllipse[linestyle=dashed](5.5,11)(2.8,0.8){0}{180}{0}
\psellipse(5.5,14)(4,1.5)
%
\psline{<->}(11.5,4)(11.5,9)
\psline{<->}(11.5,9)(11.5,11)
%
\psline(3.5,9)(1.5,14)
\psline(7.5,9)(9.5,14)
\psline[linestyle=dashed](3.5,9)(5.5,4)(7.5,9)
\psline[linestyle=dashed](11.5,11)(5.5,11)(5.5,4)(11.5,4)
\psline[linestyle=dashed](5.5,9)(11.5,9)
%
\psframe(5.5,10.6)(5.9,11)
\psframe(5.5,8.6)(5.9,9)
%
\rput(5,11){$C$}
\rput(9.4,11.7){$C'$}
\rput(12,10){$x$}
\rput(5,9){$A$}
\rput(8,8.5){$A'$}
\rput(13,6.5){3 dm}
\rput(5.5,3.5){$O$}
\rput(1,2){\underline{fig. 2}}
%
\end{pspicture}
%
\hfil



\bigskip

On considère un récipient tronconique de hauteur 3 dm, dont le diamètre d'ouverture est 6 dm et le diamètre du fond est 3 dm.

\qst \underline{Calcul du volume du récipient}
\\
Soit $A$ le centre du fond du tronc de cône considéré et $B$ le centre de son ouverture (fig. 1).
\\
Un demi-plan $P$ de frontière $(AB)$ coupe le fond suivant un segment [$AA'$] et l'ouverture suivant un segment [$BB'$].
\\
On désigne par 0 le point d'intersection des droites $(AB)$ et $(A'B')$.

\ssq En considérant les triangles $OAA'$ et $OBB'$, calculer la distance $OA$. En déduire que la valeur exacte du volume, en dm$^{3}$, du cône de sommet $O$ et dont la base est le fond du récipient est :

\centerline{$V_1=\dfrac{9\pi}{4}$.}

\ssq Calculer la valeur exacte du volume, en dm$^{3}$ , du récipient. Donner la valeur arrondie à 10$^{-3}$ près de ce volume.

\qst \underline{Graduation du récipient}
\\
On met de l'eau dans le récipient jusqu'à une certaine hauteur $x$ exprimée en dm ($0 \le x \le 3$) (fig. 2). On appelle $V(x)$ le volume d'eau correspondant en dm$^{3}$.
\\
Soit $C$ le centre de la surface de l'eau. Le demi-plan $P$, défini précédemment, coupe la surface de l'eau suivant un segment [$CC'$].

\ssq Calculer, en fonction de $x$, la distance $CC'$. On vérifiera que : $CC' = \dfrac{x+3}{2}$.

\ssq En déduire, à l'aide du résultat obtenu en 1)a) que, pour $0 \le x \le 3$ :

\centerline{$V(x) = \pi\left(\dfrac{1}{12}\,x^3+\dfrac{3}{4}\,x^2+\dfrac{9}{4}\,x\right).$}



\vfill
\centerline{
\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{2}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\multicolumn{2}{r|}{\textbf{Session 2004}}\\\hline
\centering\textbf{MATHEMATIQUES}
&%
\centering\textbf{Durée : 2 h}
&%
\centering\textbf{Coefficient 3}
&%
\multicolumn{1}{r|}{\textbf{Page 2/4}}
\cr\hline 
\end{tabular}
}


\newpage


\ssq On décide de graduer le récipient de 10 litres en 10 litres. La fonction $V$ est représentée graphiquement sur la feuille fournie en annexe (annexe à rendre avec la copie).\\
Déterminer, à l'aide de ce graphique, à quelles hauteurs se trouveront les graduations correspondant à 10 L, 20 L, 30 L et 40 L, en laissant sur la figure les tracés nécessaires.
\\
Rappels : 
%
\begin{tabular}[t]{l}
$\bullet$ Volume d'un cône de rayon R et de hauteur H : $V = \dfrac{1}{3}\,\pi R^2 H$.
\\
$\bullet$ Une contenance de 1 litre correspond à un volume de 1 dm$^{3}$.
\end{tabular}


\bigskip\bigskip

\numqst1
\centerline{\textbf{\underline{PROBL\'EME} ( 12 points)}}

\bigskip
On désigne par I l'intervalle $[1\,;\,+\infty[$.

Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout $x$ de I par :

\[
f(x) = x(-2+\ln x).
\]

On appelle $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$ (unité graphique 1 cm).

\qstssq Résoudre dans I l'équation : $f(x) = 0$.
\\
En déduire les coordonnées du point d'intersection $A$ de la courbe $C$ avec l'axe des abscisses.

\ssq Résoudre dans I l'inéquation : $-2 + \ln x > 0$,
\\
En déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x$ de I et les positions relatives de la courbe $C$ et de l'axe des abscisses.

\qst Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

\qstssq  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle I.
\ssq Résoudre dans I l'équation : $f'(x) = 0$, puis l'inéquation : $f'(x) > 0$.
\ssq Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ pour tout $x$ de I et le tableau de variation de $f$ sur I.
\\
On calculera la valeur exacte du minimum de $f$.

\qst Déterminer une équation de la tangente $T$ au point d'abscisse 1 de la courbe $C$.

\qst Construire la droite $T$, placer le point $A$ et construire la courbe $C$.

\qst Soit la fonction $F$ définie, pour tout $x$ de I, par :

\[
F(x) = - \dfrac{5}{4}\,x^2 + \dfrac{1}{2}\,x^2 \ln x.
\]

\ssq Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur I.
\ssq Hachurer, sur le graphique précédent, la partie $D$ du plan délimitée par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \e$.
\ssq Calculer la valeur exacte, en cm$^{2}$, de l'aire $\cal A$ de la partie $D$. Donner une valeur approchée à 10$^{-2}$ près de $\cal A$.


\vfill
\centerline{
\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{2}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\multicolumn{2}{r|}{\textbf{Session 2004}}\\\hline
\centering\textbf{MATHEMATIQUES}
&%
\centering\textbf{Durée : 2 h}
&%
\centering\textbf{Coefficient 3}
&%
\multicolumn{1}{r|}{\textbf{Page 3/4}}
\cr\hline 
\end{tabular}
}

\newpage


\begin{center}
\textbf{ANNEXE A L'EXERCICE}

\vskip 4cm

\psset{xunit=5cm,yunit=2.5mm}
%
\begin{pspicture}(-0.2,-4)(3.4,56)
%
\def\psxlabel#1{\textbf{#1}}
\def\psylabel#1{\textbf{#1}}
\multirput(-0.1,-4)(0.1,0){33}{\psline[linestyle=dotted](0,56)}
\multirput(-0.2,-2)(0,2){27}{\psline[linestyle=dotted](3.4,0)}
\psaxes[Dx=.5,Dy=4,linewidth=0.05]{->}(0,0)(-0.2,-3.9)(3.2,52)
\pscurve[linewidth=0.05]{-}(0,0)(1,9.8)(2,25.8)(3,49.6)
\rput(-0.05,-1){$O$}
\rput(3.2,-1){$x$}
\rput(-0.12,51){$V(x)$}
%
\end{pspicture}

\end{center}


\vfill
\centerline{
\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{4.5cm}|p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{2}{|l}{\textbf{BT ENCADREMENT DE CHANTIER}}&\multicolumn{2}{r|}{\textbf{Session 2004}}\\\hline
\centering\textbf{MATHEMATIQUES}
&%
\centering\textbf{Durée : 2 h}
&%
\centering\textbf{Coefficient 3}
&%
\multicolumn{1}{r|}{\textbf{Page 4/4}}
\cr\hline 
\end{tabular}
}




\end{document}