\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{tabularx,multirow,graphicx}

\begin{document}

{\taille{10}
\begin{tabular}{|p{\textwidth}|}
\hline
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}\\
\textbf{L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.}
\\\hline
\end{tabular}
}




\bigskip
\textbf{EXERCICE 1 (10 POINTS)}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij (unité graphique : 2 cm).

A- Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur \R par
\[
 g(x)=(ax+b)\e^{x}
\]
passe par le point $A$ de coordonnées (0 ; 4) et admette en ce point une tangente de coefficient directeur nul.

\medskip
B- On considère la fonction $f$ dêfinie sur l'intervalle [0 ; 1] par
\[
 f(x)=(4-4x)\e^{x}
\]
et on note $(C)$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\qst \'Etudier les variations de $f$.
\qst Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de $f(0,25)$, $f(0,5)$ et $f(0,75)$.
\qst Tracer la courbe $(C)$.
\qst On note $H$ la fonction définie sur [0 ; 1] par $H(x) = (2 - x)e^{x}$.
\ssq Calculer la dérivée de $H$ et en déduire une primitive de $f$ sur [0 ; 1].
\ssq Calculer, en cm$^{2}$, l'aire de la portion de plan limitée par la courbe et les deux axes.\newline (On donnera la réponse exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près).

\qst En traçant les courbes symétriques de $(C)$ par rapport aux deux axes de coordonnées et par rapport à l'origine, on obtient une courbe fermée qui sera prise comme contour du fond d'une boîte cylindrique de hauteur 10 cm. Calculer, en cm$^{3}$, au cm$^{3}$ près, le volume de la boîte.



\vfill
\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3cm}p{2.5cm}p{3cm}p{3.7cm}|}
\hline
\centering CODE \'EPREUVE : ADMAT
&
\multicolumn{2}{p{5.5cm}|}{\centering EXAMEN : BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}
&
\multicolumn{2}{|p{6.5cm}|}{\centering SP\'ECIALIT\'E : AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL}
\cr\hline
\centering SESSION 2002
&
\centering SUJET
&
\multicolumn{3}{|p{9cm}|}{\centering \'EPREUVE : MATHÉMATIQUES}
% Calculatrice autorisée : oui
\\
\hline
\centering Durée : 2 h
&
\centering Coefficient : 2
&
\multicolumn{2}{|p{5.5cm}|}{\centering N° sujet : 89yd02}
&
\centering Page : 1/6\cr
\hline
\end{tabular}

\newpage



\numqst{1}
\textbf{EXERCICE 2 (10 POINTS)}

\medskip
Dans la production d'une entreprise on prélève 100 rouleaux de papier de tapisserie dont on mesure les longueurs. On obtient les résultats suivants:

\begin{center}
\begin{scriptsize}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Longueur en m & [9,93 ; 9,95[ & [9,95;9,97[ & [9,97; 9,99[ & [9,99; 10,01[ & [10,01 ; 10,03[ & [10,03 ; 10,05[ & [10,05 ; 10,07[ \\ \hline
Effectif & 1 & 5 & 11 & 23 & 25 & 19 & 13 \\ \hline
\end{tabular}
\end{scriptsize}
\end{center}

A-
\qst Construire l'histogramme de cette série.

\qst En remplaçant chaque classe par son centre affecté de l'effectif correspondant, calculer la
moyenne et l'écart-type de cette série à $10^{-3}$ près. (\textit{Le détail des calculs n'est pas demandé}).

\bigskip
\numqst{1}
B- On note $X$ la variable aléatoire qui, à un rouleau pris an hasard, associe sa longueur exprimée en
mètres. On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 10$ et d'écart-type $\sigma = 0,03$.

\qst Considérant que les rouleaux trop longs peuvent être recoupés, on décide qu'un rouleau est accepté si sa longueur est supérieure ou égale à 9,95 m.
\newline
Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, qu'un rouleau pris au hasard dans la production :
\ssq soit accepté.
\ssq soit refusé.

\qst  Parmi les rouleaux acceptés, ceux dont la longueur est supérieure à 10,05 m sont recoupés avanl expédition.
\ssq Calculer $P(9,95 \le X \le 10,05)$ (on donnera l'arrondi à $10^{-2}$ près).
\ssq Quelle est la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit accepté et expédié sans être recoupé ?

\bigskip
C- \textit{\textbf{On admet dans cette partie que la probabilité qu'un rouleau pris au hasard dans la production soit refusé est 0,05.}}

On prélève au hasard 5 rouleaux dans la production. (Ce prélèvement est assimilé à un tirage de 5
rouleaux successivement avec remise). On appelle $Y$ la variable aléatoire qui associe à chacun de
ces prélèvements le nombre de rouleaux refusés parmi les 5.

\qst Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ? (\textit{On précisera ses paramètres}).

\qst Calculer, à $10^{-2}$ près la probabilité de chacun des événements suivants :
\ssq Parmi les 5 rouleaux, aucun n'est refusé. 
\ssq Parmi les 5 rouleaux, au moins 1 est refusé.

\vfill
\begin{center}
\begin{tiny}
BTS AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL - MATHÉMATIQUES - CODE SUJET : 89YD02 \qquad PAGE 2/6
\end{tiny}
\end{center}


\end{document}