\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{tabularx}
\marges{1cm}{1cm}{1.5cm}{1.5cm}
\begin{document}


{\taille{10}
\begin{tabular}{|p{\textwidth}|}
\hline
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}\\
\textbf{L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.}
\\\hline
\end{tabular}
}


\bigskip
\underline{\textbf{EXERCICE 1 (8 POINTS)}}

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij (unité graphique: 2 cm).

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(4.2,4)
 \psaxes{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(4,4)
 \uput[45](4,0){$C$}
 \uput[90](3,0){$D$}
 \uput[90](3,1){$B$}
 \uput[45](0,3){$A$}
\psarc[linewidth=0.03](3,0){1}{0}{90}
\psplot[algebraic=true,linestyle=dotted,linewidth=0.05]{0}{3}{4/27*x^3 - 2/3*x^2+3}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère les points A(0;3), B(3;1), C(4;0) et D(3;0).

La courbe ci-dessus est constituée de deux parties :
\begin{itemize}
 \item La partie en trait continu est un quart de cercle de centre $D$ et de rayon 1.
 \item La partie en trait pointillé est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 3].
\end{itemize}

\medskip
\textit{\textbf{Partie A : détermination de $\boldsymbol{f}$.}}

La partie en trait pointillé doit satisfaire les conditions suivantes :

\begin{itemize}
 \item elle passe par $A$ et par $B$ ;
 \item la tangente en $A$ est parallèle à l'axe des abscisses ;
 \item le raccordement avec la partie en trait continu doit être le plus régulier possible, c'est-à-dire que la tangente au cercle en $B$ est aussi tangente à la courbe en pointillé.
\end{itemize}


\vfill
\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3cm}p{2.5cm}p{3cm}p{3.7cm}|}
\hline
\centering CODE \'EPREUVE : ADMAT
&
\multicolumn{2}{p{5.5cm}|}{\centering EXAMEN : BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}
&
\multicolumn{2}{|p{6.5cm}|}{\centering SP\'ECIALIT\'E : AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL}
\cr\hline
\centering SESSION 2003
&
\centering SUJET
&
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{\centering \'EPREUVE : MATHÉMATIQUES}
&
Calculatrice autorisée : oui
\\
\hline
\centering Durée : 2 h
&
\centering Coefficient : 2
&
\multicolumn{2}{|p{5.5cm}|}{\centering N° sujet : 05NB03}
&
\centering Page : 1/6\cr
\hline
\end{tabular}

\newpage


\qst Traduire ces quatre contraintes par quatre conditions sur la fonction $f$ et sa fonction dérivée~$f'$.

\qst Vérifier que la fonction $f_0$ définie sur l'intervalle [0;3] par $f_0 (x) = \dfrac{4}{27}\,x^3 - \dfrac{2}{3}\,x^2+3$ satisfait ces quatre conditions.
\newline
On admet alors que l'arc \arc{AB} est la courbe représentative de $f_0$.

\qst Calculer l'aire, en cm$^{2}$, de la surface délimitée par la courbe et les deux axes (\textit{arrondir à l'unité}).

\bigskip
\numqst1
\textbf{\textit{Partie B : le plateau de table.}}

En faisant subir à la courbe une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses, puis à l'ensemble une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des ordonnées, on obtient une courbe fermée T.

Cette courbe T constitue, à l'échelle 1/5, le contour extérieur d'un plateau de table, réalisé dans un matériau de 6 cm d'épaisseur et dont la masse volumique est de 1,7 g/cm$^{3}$.

\qst Calculer le volume en cm$^{3}$ du plateau, à 1 cm$^{3}$ près.

\qst Calculer sa masse en kg (\textit{arrondir à 3 décimales}).

\vfill
\begin{center}
\begin{tiny}
BTS agencement de l'environnement architectural - Mathématiques - N° Sujet : 05NB03 \qquad PAGE 2/7
\end{tiny}
\end{center}

\newpage
\numqst1
\underline{\textbf{EXERCICE 2 (12 points)}}

\smallskip
Une entreprise d'agencement fabrique des tables. Une des machines débite les pieds des tables.

\medskip
\textit{\textbf{Partie A : étude d'un échantillon.}}

Dans la production d'une journée, on étudie un échantillon de 200 pieds, dont on mesure le longueurs. On obtient la série suivante :
\begin{center}
\begin{scriptsize}
\begin{tabular}{|*{9}{@{\,}c@{\,}|}}\hline
Longueur en cm & [70,6 ; 70,7[ & [70,7 ; 70,8[ & [70,8 ; 70,9[ & [70,9 ; 71,0[ & [71,0 ; 71,1[ & [71,1 ; 71,2[ & [71,2 ; 71,3[ & [71,3 ; 71,4[ \\ \hline
Effectif & 2 & 6 & 20 & 40 & 48 & 48 & 32 & 4 \\ \hline
\end{tabular}
\end{scriptsize}
\end{center}


\qst Calculer, à 0,1 mm près, la longueur moyenne et l'écart-type de cette série.
\qst Un pied de table n'est pas utilisable si sa longueur est inférieure à 70,8 cm. Quel est dans cet échantillon le pourcentage de pieds défectueux ?


\bigskip
\numqst1
\textit{\textbf{Partie B : réglage de la machine.}}

La longueur moyenne des pieds peut varier d'un jour à l'autre. La fabrication est jugée acceptable tant que la longueur moyenne des pieds est supérieure ou égale à 70,8 cm. Le tableau suivant contient les longueurs moyennes en cm des pieds au cours des 7 premiers jours de fabrication.

\begin{center}
\begin{scriptsize}
\begin{tabular}{|c|*{7}{c|}}\hline
Jour $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
Longueur moyenne $y_i$ & 71 & 70,99 & 70,98 & 70,97 & 70,95 & 70,92 & 70,90 \\ \hline
\end{tabular}
\end{scriptsize}
\end{center}

\qst Représenter le nuage des points $M_i\,(x_i ; y_i)$ dans un repère orthogonal, avec pour unités :\newline
	En abscisse : 2 cm pour 1 jour.\newline
	En ordonnée : 1 cm pour 0,1 cm (commencer la graduation à 70,0 cm).

\qst Un ajustement affine de ce nuage de points semble-t-il approprié ? Justifier.

\qst À l'aide de la calculatrice, donner :
\ssq le coefficient de corrélation entre $x$ et $y$ à $10^{-2}$ près ;
\ssq une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (\textit{arrondir les coefficients à 4 décimales}).

\qst A l'aide de cette équation de droite, déterminer au bout de combien de jours il faudra à nouveau régler la machine.

\bigskip
\numqst1
\textbf{\textit{Partie C : les pièces défectueuses.}}

Dans cette partie, on considère que la probabilité qu'un pied de table, pris au hasard dans la production, ne soit pas utilisable est 0,04.

On prélève dans la production, au hasard, et avec remise, un échantillon de 100 pieds.

Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 100 pieds le nombre de pieds défectueux.

\qst Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.

\qst Calculer à $10^{-3}$ près la probabilité de chacun des événements suivants :
\ssq Parmi les 100 pieds, aucun n'est défectueux.
\ssq Parmi les 100 pieds, au moins un est défectueux.

\qst On décide d'approcher la loi de $X$ par une loi de Poisson.
\ssq Préciser ses paramètres.
\ssq Calculer alors la probabilité qu'il y ait au plus un pied défectueux.

\vfill
\centerline{
\begin{tiny}
BTS agencement de l'environnement architectural - Mathématiques - N° Sujet : 05NB03 \qquad PAGE 3/7
\end{tiny}
}




\end{document}