\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{tabularx,multirow,graphicx}

\begin{document}

\begin{center}
% use packages: array
% \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|c|}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|>{\centering} X|}
\hline\\
\textbf{SESSION 2004}\\[1cm]
\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}\\
\textbf{AGENCEMENT DE L'ESPACE ARCHITECTURAL}\\[1cm]
\textbf{MATHÉMATIQUES}
\cr\\
\hline
\end{tabularx}

\vskip 1cm

\textit{SUJET}

\bigskip

Durée : 2 heures
 
Coefficient : 2

\bigskip

Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il soit complet.

Le sujet est composé de 3 pages numérotées de 0/6 à 2/6.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

Il comprend 4 pages, numérotées 3/6 à 6/6.


\end{center}

\vskip 2cm

{\taille{10}
\begin{tabular}{|p{\textwidth}|}
\hline
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}\\
\textbf{L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.}
\\\hline
\end{tabular}
}

\vskip 2cm

% >{\centering} X

\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3cm}p{2.5cm}p{3cm}p{3.7cm}|}
\hline
\centering CODE \'EPREUVE : ADMAT
&
\multicolumn{2}{p{5.5cm}|}{\centering EXAMEN : BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}
&
\multicolumn{2}{|p{6.5cm}|}{\centering SP\'ECIALIT\'E : AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL}
\cr\hline
\centering SESSION 2004
&
\centering SUJET
&
\multicolumn{3}{|p{9cm}|}{\centering \'EPREUVE : MATHÉMATIQUES}
% Calculatrice autorisée : oui
\\
\hline
\centering Durée : 2 h
&
\centering Coefficient : 2
&
\multicolumn{2}{|p{5.5cm}|}{\centering N° sujet : 32NB04}
&
\centering Page : 0/6\cr
\hline
\end{tabular}


\newpage
\underline{\textbf{Exercice 1 (10 points)}}

\underline{\textbf{Partie A.}}

Soit (E) l'équation différentielle $2y'+ y = 4 \e^{-0,5x}$, où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$ sa
fonction dérivée première.

\qst Résoudre l'équation différentielle (E$_{0}$) : $2y' +y= 0$.

\qst Montrer que la fonction $h$ définie sur \R par $h(x) = 2x \e^{-0,5x}$ est une solution particulière de (E).

\qst En déduire la solution générale de (E).

\qst Déterminer la fonction solution de (E) qui prend la valeur 1 en 0.

\bigskip
\numqst{1}
\underline{\textbf{Partie B.}}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 4] par $f(x) = (2x + 1) \e^{-0,5x}$.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 3 cm.

\qst Etudier les variations de $f$ sur [0 ; 4].

\qst Déterminer une équation de la tangente T à la combe C au point d'abscisse 0.

\qst Construire la droite T et la courbe C.


\vfill
\hrule
\smallskip
\begin{small}
BTS Agencement de l'Environnement Architectural -- Mathématiques -- N° sujet : 32NB04 -- Page 1/6
\end{small}

\newpage

\numqst{1}
\underline{\textbf{EXERCICE 2.}} ( 10 points)

La courbe C obtenue à l'exercice 1 représente à l'échelle 1/10 le contour du plateau d'un bureau de longueur 120 cm et dont la largeur maximale est d'environ 56,7 cm.

\qst Dans la production d'une journée, on prélève un échantillon de 50 plateaux dont on mesure les largeurs.
\newline
On obtient les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{9}{>{\centering}p{1.4cm}|}}\hline
largeur en cm & 56 & 56,2 & 56,4 & 56,6 & 56,8 & 57 & 57,2 & 57,4 \cr \hline
effectifs & 1 & 2 & 8 & 20 & 10 & 5 & 3 & 1 \cr \hline
\end{tabular}
\end{center}

\decalqst
Calculer à $10^{-2}$ près la largeur moyenne et l'écart type de cette série.


\qst  On note $X$ la variable aléatoire qui, à un plateau choisi au hasard dans la production, associe sa largeur exprimée en cm.\newline
On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 56,7$ et d'écart type $\sigma = 0,3$.\newline
Un plateau est déclaré conforme si sa largeur est comprise entre 56,2 cm et 57,2 cm.
\ssq Calculer la probabilité qu'un plateau pris au hasard dans la production soit conforme.
\ssq En déduire la probabilité qu'il ne soit pas conforme.


\qst Les plateaux sont conditionnés en paquets de 5 plateaux.\newline
On assimile la constitution d'un paquet à un tirage de 5 plateaux successivement avec remise.\newline
On admet que la probabilité qu'un plateau ne soit pas conforme est $0,1$.\newline
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui à chaque paquet de 5 plateaux associe le nombre de plateaux non conformes.
\ssq Justifier le fait que $Y$ suit une loi binomiale ; donner ses paramètres.
\ssq Calculer à $10^{-2}$ près les probabilités : $P (Y = 0)$ et $P (Y \le 1)$.

\vfill
\hrule
\smallskip
\begin{small}
BTS Agencement de l'Environnement Architectural -- Mathématiques -- N° sujet : 32NB04 -- Page 2/6
\end{small}

\end{document}