\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{tabularx}

\begin{document}

\begin{center}
% use packages: array
% \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|c|}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|>{\centering} X|}
\hline\\
\textbf{SESSION 2005}\\[1cm]
\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}\\
\textbf{AGENCEMENT DE L'ESPACE ARCHITECTURAL}\\[1cm]
\textbf{MATHÉMATIQUES}
\cr\\
\hline
\end{tabularx}

\vskip 1cm

\textit{SUJET}

\bigskip

Durée : 2 heures
 
Coefficient : 2

\bigskip

Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il soit complet.

Le sujet est composé de 3 pages numérotées de 2/8 à 4/8.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

Il comprend 4 pages, numérotées 5/8 à 8/8.


\end{center}

\vskip 2cm

{\taille{10}
\begin{tabular}{|p{\textwidth}|}
\hline
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}\\
\textbf{L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.}
\\\hline
\end{tabular}
}

\vskip 2cm

% >{\centering} X

\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3cm}p{2.5cm}p{3cm}p{3.7cm}|}
\hline
\centering CODE \'EPREUVE : ADMAT
&
\multicolumn{2}{p{5.5cm}|}{\centering EXAMEN : BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}
&
\multicolumn{2}{|p{6.5cm}|}{\centering SP\'ECIALIT\'E : AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL}
\cr\hline
\centering SESSION 2005
&
\centering SUJET
&
\multicolumn{3}{|p{9cm}|}{\centering \'EPREUVE : MATHÉMATIQUES}
% Calculatrice autorisée : oui
\\
\hline
\centering Durée : 2 h
&
\centering Coefficient : 2
&
\multicolumn{2}{|p{5.5cm}|}{\centering N° sujet : 04NB05}
&
\centering Page : 1/8\cr
\hline
\end{tabular}


\newpage
\underline{\textbf{EXERCICE 1 (10 POINTS)}}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij (unité graphique 1 cm). On considère la courbe (C) (représentée ci-dessous) d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [$-3$ ; $+\infty$[ par 
\[
f(x) = (ax + b) \, \e^{-0,25x}.
\]

Les nombres réels $a$ et $b$ sont à déterminer.

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(14,4)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0pt]%(-3,-4)(14,4)(1,1)
\psplot[algebraic=true]{-3}{14}{(2*x+2)*2.718^(-0.25*x)}
\psaxes[linewidth=0.1]{->}(0,0)(-3,-4)(14,4)
\psline(-3,-2.5)(1.33,4)
\rput(10.5,2){$(C)$}
\rput(0.5,3.5){$(T)$}
\uput[0](0,2){$A$}
\uput[180](-2,-1){$B$}
\end{pspicture*}
\end{center}





\bigskip
\textbf{PARTIE A :} détermination, puis étude de la fonction $f$

\qstssq Déterminer une équation de la droite (T) passant par les points $A$ de coordonnées (0~;~2) et $B$ de coordonnées ($-2$ ; $-1$).

\ssq Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$, en fonction des réels $a$ et $b$.

\ssq Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que la courbe (C) passe par le point $A$ et admet en ce point la droite (T) pour tangente.

\bigskip
\qst Dans la suite du problème, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [$-3$ ; $+\infty$[ par 
\[
f(x) = (2x + 2) \, \mathrm{e}^{-0,25x}.
\]
Calculer la dérivée de la fonction $f$, étudier son signe, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

\vfill
\textbf{\taille{9}BTS agencement de l'environnement architectural - Mathématiques --Sujet n° : 04NB05 - Page : 2 / 8}

\newpage
\numqst1

\textbf{PARTIE B :} calcul du volume d'un solide de révolution puis fabrication.

\qst On considère le domaine D du plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 13$. On rappelle que le volume V du solide de révolution engendré par la rotation du domaine D autour de l'axe des abscisses est en unités de volume :
\[V = \pi \int_0^{13}[f(x)]^{2}\,\mathrm{d}x.\]

\ssq Vérifier que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [$-3$ , $+\infty$[ par $g(x) = [f(x)]^{2}$ est telle que \[g(x) = 4 (x^{2} + 2 x +1) \, \mathrm{e}^{-0,5x}.\]

\ssq Démontrer que la fonction $G$ définie sur l'intervalle [$-3$ , $+\infty$[ par
\[G(x) = 4 (- 2x^{2} - 12x - 26) \, \mathrm{e}^{-0,5x}\]
est une primitive de la fonction $g$.

\ssq Calculer la valeur exacte du volume V en unités de volume, puis donner une valeur arrondie
à $10^{-3}$ près.

\qst Une entreprise réalise un pied de lampe de salon, de la forme du solide étudié précédemment, par tournage sur une ébauche en bois plein composée d'éléments collés.\\[1ex]
Ce pied de lampe est à l'échelle 3 par rapport au solide étudié dans la partie B) 1).\\
Quelle est la valeur maximale en dm arrondie à $10^{-2}$ près du diamètre de cet objet ?\\
Quel est le volume en dm$^{3}$ arrondi à $10^{-3}$ près d'un pied de lampe ?


\vfill
\textbf{\taille{9}BTS agencement de l'environnement architectural - Mathématiques -Sujet n° : 04NB05 - Page : 3 / 8}

\newpage
\numqst1

\underline{\textbf{EXERCICE 2 (10 POINTS)}}

\bigskip
\textbf{PARTIE A}

On prélève au hasard dans la production des pieds de lampe, un échantillon de taille 80, on mesure la masse de chacun. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant.

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|*{7}{c|}}\hline
Masse en kg
&
[5,1;\,5,3[
&
[5,3;\,5,5[
&
[5,5;\,5,7[
&
[5,7;\,5,9[
&
[5,9;\,6,1[
&
[6,1;\,6,3[
&
[6,3;\,6,5[
\\\hline
Effectifs
&
1
&
6
&
16
&
33
&
18
&
4
&
2
\\\hline
\end{tabular}

\end{center}


\qstssq Construire l'histogramme de cette série.
\ssq En remplaçant chaque classe par sa valeur centrale, calculer la moyenne puis l'écart type
de cette série statistique arrondis à $10^{-2}$ près (le détail des calculs n'est pas demandé).

\qst On note $X$ la variable aléatoire qui, à un pied de lampe pris au hasard dans la production, associe sa masse en kg. On suppose que $X$ suit une loi normale de moyenne 5,8 et d'écart type 0,22.\\
(\textit{Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-2}$ près}).

\ssq Calculer la probabilité qu'un pied de lampe choisi au hasard ait sa masse comprise entre 5,5 kg et 6,2 kg.

\ssq On décide de rejeter les pieds de lampe dont la masse est supérieure à 6,1 kg, quelle est la probabilité pour qu'un pied de lampe pris au hasard soit rejeté ?


\bigskip\bigskip
\numqst1
\textbf{PARTIE B}

Une chaîne de magasins commercialise ces lampes de salon, elle souhaite étudier l'évolution du nombre de lampes vendues en fonction du nombre de magasins dans lesquels la lampe est proposée.\\
Le tableau suivant présente cette évolution.

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Nombre de magasins $x_i$ & 15 & 40 & 70 & 90 & 100 & 150 \\\hline
Nombre de lampes vendues $y_i$ & 60 & 254 & 362 & 504 & 615 & 810 \\\hline
\end{tabular}

\end{center}

On décide d'ajuster cette série statistique à deux variables par la méthode des moindres carrés.

\qst Déterminer à l'aide de la calculatrice le coefficient de corrélation de cette série.\\
Est-on dans des conditions satisfaisantes pour réaliser un ajustement affine ?

\qst Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y = m x + p$, avec $m$ et $p$ arrondis à $10^{-2}$ près.

\qst En déduire une estimation du nombre de lampes vendues, si la chaîne présente celles-ci dans 400 magasins.


\vfill
\textbf{\taille{9}BTS agencement de l'environnement architectural - Mathématiques -Sujet n° : 04NB05 - Page : 4 / 8}






\end{document}