\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{tabularx,multirow,graphicx}

\begin{document}

\begin{center}
% use packages: array
% \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|c|}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|>{\centering} X|}
\hline\\
\textbf{SESSION 2006}\\[1cm]
\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}\\
\textbf{AGENCEMENT DE L'ESPACE ARCHITECTURAL}\\[1cm]
\textbf{MATHÉMATIQUES}
\cr\\
\hline
\end{tabularx}

\vskip 1cm

\textit{SUJET}

\bigskip

Durée : 2 heures
 
Coefficient : 2

\bigskip

Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il soit complet.

Le sujet est composé de 3 pages numérotées de 2/8 à 4/8.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

Il comprend 4 pages, numérotées 5/8 à 8/8.


\end{center}

\vskip 2cm

{\taille{10}
\begin{tabular}{|p{\textwidth}|}
\hline
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}\\
\textbf{L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.}
\\\hline
\end{tabular}
}

\vskip 2cm

% >{\centering} X

\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3cm}p{2.5cm}p{3cm}p{3.7cm}|}
\hline
\centering CODE \'EPREUVE : 0006ADMAT
&
\multicolumn{2}{p{5.5cm}|}{\centering EXAMEN : BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}
&
\multicolumn{2}{|p{6.5cm}|}{\centering SP\'ECIALIT\'E : AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL}
\cr\hline
\centering SESSION 2006
&
\centering SUJET
&
\multicolumn{3}{|p{9cm}|}{\centering \'EPREUVE : MATHÉMATIQUES}
% Calculatrice autorisée : oui
\\
\hline
\centering Durée : 2 h
&
\centering Coefficient : 2
&
\multicolumn{2}{|p{5.5cm}|}{\centering N° sujet : 19EM06}
&
\centering Page : 1/8\cr
\hline
\end{tabular}


\newpage
\textbf{\underline{Exercice 1.} (10 points)}

\medskip
Un technicien doit réaliser un plan de travail destiné à supporter du matériel informatique.

Ce plan de travail sera découpé dans un panneau MDF (panneau de fibres de bois de moyenne densité), puis recouvert de stratifié.

\medskip
\textbf{Partie A : Modélisation.}

Le technicien dispose du schéma ci-dessous, représentant dans un repère orthonormal \Oij, la surface du plan de travail. L'unité représente \textbf{1 mètre} en vraie grandeur. Les dimensions réelles sont respectées au millimètre près.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psline[linewidth=0.03](0,0)(-1,0)(-1,1)(1.718,1)
\psplot[algebraic=true,linewidth=0.03]{0}{1.718}{(x+1)*ln(x+1)-x}
\uput[-90](2.5,0){$x$}
\uput[180](0,1.5){$y$}
\uput[-135](0,0){$O$}
\uput[-90](0.5,0){$\vec{\imath}$}
\uput[180](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\uput[-90](-1,0){$A$}
\uput[90](-1,1){$B$}
\uput[0](1.718,1){$C$}
\uput[-90](1,0){1}
\uput[135](0,1){1}
\psline[linewidth=0.03]{<->}(1,0)(0,0)(0,1)
\rput(1.5,-0.75){
$\begin{array}{l}
 O\coordh{0}{0}\\
 A\coordh{-1}{0}\\
 B\coordh{-1}{1}\\
 C\coordh{\e-1}{1}\\
\end{array}$
}
\end{pspicture}
\end{center}

L'arc de courbe $\arc{OC}$ doit, de plus, vérifier les contraintes suivantes : 

\qquad a) Il doit être tangent en $O$ à l'axe des abscisses. 

\qquad b) Il doit admettre en $C$ une tangente ayant pour coefficient directeur 1.

\medskip
Le technicien cherche à modéliser l'arc $\arc{OC}$ à l'aide d'une fonction dont la courbe représentative correspond à cet arc.

Après plusieurs essais, il pense pouvoir utiliser la fonction $f$ définie sur [0 ; $\e-1$] par:
\[
 f(x)=(x+1)\ln(x+1)-x.
\]

\qst Calculer $f(0)$ et $f(\e-1)$.

\qst Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ sur [0 ; $\e-1$] est définie par $f'(x)=\ln(x+1)$.

\qst \`A partir des résultats précédents, vérifier que la courbe $\cal C$, représentative de $f$ dans le repère \Oij, passe bien par les points $O$ et $C$ et satisfait aux contraintes a) et b) énoncées ci-dessus.

\vfill
\textbf{\taille{8}BTS agencement de l'environnement architectural - Mathématiques - Sujet n° 19 EM 06 - Page 2/8}


\newpage
\numqst{1}
\textbf{Partie B : \'Etude de la fonction $\boldsymbol{f}$.}


\qst \'Etudier le signe de $f'(x)$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.

\qst \'Ecrire l'équation de la tangente T à la courbe C représentative de $f$ an point d'abscisse $\e-1$.

\qst Recopier sur la copie puis compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près) :
\[
\begin{array}{|*{6}{>{\centering $}p{2.2cm}<{$}|}}\hline
x & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & \e-1 \cr \hline
f(x) &  &  &  &  &  \cr \hline
\end{array}
\]

\qst Tracer la courbe C ainsi que la tangente T à C au point C dans le repère orthonormal \Oij (unité graphique 10 cm).

\medskip
\numqst{1}
\textbf{Partie C : Calcul de la masse du plateau en MDF.}

\qst Vérifier que la fonction $G$ définie par $G(x)= \dfrac{(x+1)^2}{2}\left(\ln(x+1)-\dfrac{1}{2}\right)$ est une primitive sur l'intervalle [0 ; $\e-1$] de la fonction $g$ définie par $g(x)=(x+1)\ln(x+1)$. En déduire   une primitive $F$ de la fonction $f$ sur [0 ; $\e-1$].

\qstssq Calculer l'aire (en unités d'aire) du domaine plan compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \e- 1$.
\ssq En déduire l'aire, en m$^{2}$, du plateau découpé par le technicien (en donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près).

\qst Calculer sa masse, à dix grammes près, sachant que le panneau de MDF utilisé a une épaisseur de 40 mm et que sa masse volumique est de 750 kg/m$^{3}$.


\vfill
\textbf{\taille{8}BTS agencement de l'environnement architectural - Mathématiques - Sujet n° 19 EM 06 - Page 3/8}

\newpage

\numqst{1}
\textbf{\underline{Exercice 2.} (10 points)}

\medskip
\textit{Tous les résultats de cet exercice seront donnés à $10^{-2}$ près,}

\medskip
Les panneaux MDF de 40 mm d'épaisseur sont fabriqués en série par l'usine PANCOL.

\qst Afin de vérifier le bon réglage de la chaîne de production, on a mesuré l'épaisseur, en mm, de 100 panneaux. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{footnotesize}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$x_i$ : épaisseur en mm & [39,7 ; 39,8[ & [39,8 ; 39,9[ & [39,9 ; 40,0[ & [40,0 ; 40,1[ & [40,1 ; 40,2[ & [40,2 ; 40,3] \\ \hline
$n_i$ : effectifs & 1 & 12 & 36 & 41 & 8 & 2 \\ \hline
\end{tabular}
\end{footnotesize}
\end{center}

\decalqst
Calculer la moyenne et l'écart-type de cette série statistique.\newline
(On remplacera chaque classe par son centre affecté de J'effectif correspondant).\newline
Sachant que la tolérance relative à l'épaisseur est de $\pm 0,20$ mm, calculer le pourcentage de panneaux acceptables du point de vue de leur épaisseur.

\qst On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque panneau pris an hasard dans la production, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $m = 40$ et d'écart-type $\sigma = 0,1$.\newline
Calculer la probabilité qu'un panneau pris au hasard :
\ssq ait une épaisseur inférieure à 39,8 mm ;
\ssq soit acceptable, c'est-à-dire ait une épaisseur appartenant à l'intervalle [39,80 ; 40,20[ ;
\ssq ne soit pas acceptable.

\qst On suppose désormais que la probabilité qu'un panneau ne soit pas acceptable est $p = 0,05$.\newline
  Un grossiste achète à l'entreprise PANCOL les panneaux de MDF d'épaisseur 40 mm par lots de 200 panneaux. La constitution d'un lot est assimilée à un tirage de 200 panneaux avec remise. Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 200 panneaux, associe le nombre de panneaux qui ne sont pas acceptables dans ce lot.\newline
  Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ?\newline
  Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $Y$.

\qst On décide d'approcher la loi de probabilité de $Y$ par une loi de Poisson.
\ssq Quel est son paramètre ?
\ssq Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 panneaux, tous les panneaux soient acceptables ?
\ssq Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 panneaux, il y ait plus de 5 panneaux non acceptables ?

\vfill
\textbf{\taille{8}BTS agencement de l'environnement architectural - Mathématiques - Sujet n° 19 EM 06 - Page 4/8}


\end{document}