\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{tabularx,multirow,graphicx}

\begin{document}

\begin{center}
% use packages: array
% \begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}|c|}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|>{\centering} X|}
\hline\\
\textbf{SESSION 2007}\\[1cm]
\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}\\
\textbf{AGENCEMENT DE L'ESPACE ARCHITECTURAL}\\[1cm]
\textbf{MATHÉMATIQUES}
\cr\\
\hline
\end{tabularx}

\vskip 1cm

\textit{SUJET}

\bigskip

Durée : 2 heures
 
Coefficient : 2

\bigskip

Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il soit complet.

Le sujet est composé de 3 pages numérotées de 2/8 à 4/8.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

Il comprend 4 pages, numérotées 5/8 à 8/8.


\end{center}

\vskip 2cm

{\taille{10}
\begin{tabular}{|p{\textwidth}|}
\hline
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}\\
\textbf{L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.}
\\\hline
\end{tabular}
}

\vskip 2cm

% >{\centering} X

\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3cm}p{2.5cm}p{3cm}p{3.7cm}|}
\hline
\centering CODE \'EPREUVE : 0706ADMAT
&
\multicolumn{2}{p{5.5cm}|}{\centering EXAMEN : BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR}
&
\multicolumn{2}{|p{6.5cm}|}{\centering SP\'ECIALIT\'E : AGENCEMENT DE L'ENVIRONNEMENT ARCHITECTURAL}
\cr\hline
\centering SESSION 2007
&
\centering SUJET
&
\multicolumn{3}{|p{9cm}|}{\centering \'EPREUVE : MATHÉMATIQUES}
% Calculatrice autorisée : oui
\\
\hline
\centering Durée : 2 h
&
\centering Coefficient : 2
&
\multicolumn{2}{|p{5.5cm}|}{\centering N° sujet : 36EM07}
&
\centering Page : 1/8\cr
\hline
\end{tabular}


\newpage
\underline{\textbf{Exercice 1 (10 points)}}

Une entreprise fabrique des fermes industrielles. Elle désire étudier le phénomène de fluage 
(déformation en fonction du temps sous charge constante) du bois utilisé pour les poutres.
Pour cela, elle utilise le modèle de Kelvin-Voigt :

Si l'on note $\varepsilon$ la fonction définie sur \intfo{0}{+\infty} représentant la déformation sous charge constante en fonction du temps $t$, alors :

$\varepsilon$ est la solution de l'équation différentielle :
$
\dfrac{\eta}{E}\,y'+y=\dfrac{\sigma}{E}
$
vérifiant la condition initiale $\varepsilon(0)=0$,
où $\sigma$ représente la contrainte ; $\eta$ et $E$ sont des constantes dépendant du matériau utilisé.

On suppose que le bois utilisé à pour caractéristiques :
$\eta = 4 \times 10^{9}$ Mpa.s et $E = 5000$ Mpa, et que la contrainte imposée dans le test est :
$\sigma = 20$ Mpa (Mpa : megapascal). Le temps $t$ est exprimé en secondes.

L'équation différentielle permettant de déterminer $\varepsilon$ est donc
\[
 8.10^{5}\,y'+y = 0,004		\qquad	(1).
\]


\textbf{Partie I.}
\qst Résoudre l'équation différentielle : $8.10^{5}\,y'+y =  0$ où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle \intfo{0}{+\infty} et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

\qst Déterminer une fonction constante $g$, solution particulière de l'équation (1).
\qst En déduire la solution générale de l'équation différentielle (1).
\qst Déterminer $\varepsilon$.

\bigskip
\parindent0pt
\numqst{1}
\textbf{Partie II.}

On admet que pour tout $t$ dans \intfo{0}{+\infty} : 
$\varepsilon(t) = 0,004\left(1 - \e^{-1,25\times10^{-6}t}\right)$.

\qst Montrer que la fonction dérivée $\varepsilon'$ de $\varepsilon$ sur \intfo{0}{+\infty} est définie par 
\newline
$\varepsilon'(t) = 5 \times 10^{-9}\,\e^{-1,25\times10^{-6}t}$\newline
puis en déduire le sens de  variation de $\varepsilon$ sur son ensemble de définition.

\qst Tracer la courbe représentative de $\varepsilon$ dans le repère orthogonal \Oij\newline
	(Unités graphiques : 1 cm représente $5 \times 10^{5}$ s sur l'axe des abscisses et 1 cm représente	0,0005
	sur l'axe des ordonnées.)

\qst On admet que la déformation maximale est de 0,004.\newline
\'A partir de quelle valeur de $t$ la déformation atteint-elle 95\,\% de sa déformation maximale ? Arrondir le résultat à 1 près.\newline
Exprimer ce temps en jours (arrondir à 1 jour près).

\parindent0pt
\vfill
\textbf{\taille{8}BTS agencement de l'environnement architectural - Session 2007 - Mathématiques - Sujet n° 36EM07 - Page 2/8}

\newpage
\underline{\textbf{Exercice 2 (10 points)}}
\numqst{1}

Certaines poutres nécessaires à la réalisation des fermes ont une section rectangulaire de largeur 180 mm et de longueur 200 mm. La tolérance est de $\pm$1 mm, c'est-à-dire que l'on considère comme largeur acceptable toute valeur de l'intervalle \intff{179}{181} et comme longueur acceptable toute valeur de l'intervalle \intff{199}{201}.

\medskip

\textbf{Partie I.}

On réalise une étude de la largeur et de la longueur de la section des poutres d'un échantillon de 100 poutres prises au hasard dans la production.

Le tableau suivant indique dans chaque case le nombre de poutres correspondant aux intervalles indiqués.

\begin{center}
\begin{scriptsize}
% use packages: array
\begin{tabular}{|*{10}{@{\,}c@{}|}}\hline
% |@{}c|@{}c|@{}c|@{}c|c|c|c|c|c|c|
 & \multicolumn{9}{c|}{Largeurs mesurées (en mm)} \\ \hline
\multirow{9}{*}{\rotatebox{90}{Longeurs mesurées (en mm)}} & & \intfo{178}{178,5} & \intfo{178,5}{179} & \intfo{179}{179,5} & \intfo{179,5}{180} & \intfo{180}{180,5} & \intfo{180,5}{181} & \intfo{181}{181,5} & \intfo{181,5}{182} \\ \cline{2-10}
 & \intfo{198}{198,5} &  &  &  &  &  & 1 &  &  \\ \cline{2-10}
 & \intfo{198,5}{199} &  &  & 1 & 1 & 2 & 1 &  &  \\ \cline{2-10}
 & \intfo{199}{199,5} & 1 & 1 & 4 & 4 & 6 & 2 &  & 1 \\ \cline{2-10}
 & \intfo{199,5}{200} &  &  & 7 & 11 & 9 & 7 &  &  \\ \cline{2-10}
 & \intfo{200}{200,5} &  & 1 & 5 & 9 & 6 & 7 &  & 1 \\ \cline{2-10}
 & \intfo{200,5}{201} &  &  & 1 & 2 & 2 & 1 &  &  \\ \cline{2-10}
 & \intfo{201}{201,5} &  & 1 &  & 1 & 1 & 1 &  &  \\ \cline{2-10}
 & \intfo{201,5}{202} &  &  & 1 &  & 1 &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{scriptsize}
\end{center}

On considère une poutre prise au hasard dans l'échantillon.
\qst On note $\ell$ l'événement : \og la poutre a une section de largeur acceptable \fg.\newline
Calculer $P(\ell)$.
\qst On note $E$ l'événement: \og la poutre a une section de largeur et de longueur acceptables \fg.
Montrer que	$\dfrac{83}{100}\le P(E) \le \dfrac{86}{100}$.

\bigskip
\parindent0pt
\numqst{1}
\textbf{Partie II.}

On admet que la probabilité qu'une poutre, prise au hasard dans la production, soit conforme, est 0,9.

La construction d'une ferme nécessite 15 poutres de ce type.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 15 poutres, associe le nombre de poutres conformes.

La production est suffisamment importante pour que l'on assimile cette expérience à une succession de 15 tirages avec remise.

\qst Quelle est la loi suivie par $X$ ? Préciser les paramètres de cette loi.
\qstssq Calculer la probabilité que, dans un lot de 15 poutres choisies au hasard, toutes les poutres soient conformes. Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ près.
\ssq Calculer la probabilité que, dans un loi de 15 poutres choisies au hasard, il y ait au plus une poutre non conforme. Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ près.

\vfill
\textbf{\taille{8}BTS agencement de l'environnement architectural - Session 2007 - Mathématiques - Sujet n° 36EM07 - Page 3/8}

\newpage
\numqst{1}
\textbf{Partie III.}

Une commande nécessite 1500 poutres. On veut évaluer la probabilité que le nombre de poutres non conformes soit d'au plus 160.

On note $X'$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 1500 poutres, associe le nombre de poutres conformes.

On admet que $X'$ suit la loi binomiale $\cal{B} (1500 ; 0,9)$.
\qst En quoi le calcul de $P(X'> 1340)$ est-il \og difficile \fg ? 
\qstssq Pour ce calcul, on décide d'approcher la loi de $X'$ par  une loi normale.\newline
Préciser les paramètres de cette loi.\newline
On notera $Y$ la variable aléatoire qui suit cette loi.
\ssq Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(Y > 1340)$.

\vfill
\textbf{\taille{8}BTS agencement de l'environnement architectural - Session 2007 - Mathématiques - Sujet n° 36EM07 - Page 4/8}


\end{document}