\documentclass[12pt,annales]{profmath}

\begin{document}

\begin{exercice}[12 points]

\partieexo

Soit (E) l'équation différentielle :
\[
(\mbox{E}) : y'+ 2 y = -x\e^{-3x}
\]
où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur \R.

\qst Résoudre l'équation différentielle $(\mbox{E}_0)$ :
\[(\mbox{E}_0) : y'+ 2y = 0.\]
\qstssq Montrer que la fonction $h$, définie sur \R par
\[h(x) = (x + 1)\e^{-3x}\]
est une solution particulière de (E).
\ssq En déduire la solution générale de (E).
\ssq Déterminer la solution de (E) qui prend la valeur 0 en $x = -1$.

\partieexo

On considère la fonction $f$ définie sur \intff{-1}{1} par $f (x) = (x + 1)\e^{-3x}$.
On note C sa représentation graphique dans un repère orthonormal (unité graphique : 3 cm).

\qst Étudier les variations de $f$ sur \intff{-1}{1}.
\qst Tracer la courbe C.
\qst Montrer que la fonction $F(x) = -\dfrac{1}{9}\, (3x + 4)\e^{-3x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle donné.

\qst Calculer en cm$^{2}$ l'aire du domaine D limité par la courbe C, l'axe $x'Ox$ et les droites d'équation $x=-1$ et $x=0$.

\partieexo

Une entreprise décide de réaliser un vase pour un jardin en utilisant la forme obtenue en 
faisant tourner le domaine D autour de l'axe $x'Ox$. Cette forme sera une représentation à l'échelle 
1 : 10 du vase. On rappelle que le volume du solide de révolution engendré par la rotation du
domaine est en unités de volumes : $\displaystyle V= \pi\int_{-1}^{0} [f(x)]^2 \,\mathrm{d}x$.
\qst On considère la fonction $f^2$ qui à $x$ associe $[f(x)]^2$ .
Vérifier que la fonction $g$ définie sur \intff{-1}{1}
par $g (x) = \left (-\dfrac{1}{6}\,x^2 - \dfrac{7}{18}\, x - \dfrac{25}{108}\right )\e^{-6x}$  est une primitive de $f^2$.
\qst Calculer le volume du vase en m$^3$ à $10^{-3}$ près.


\end{exercice}


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EXAMEN : BTS A.E.A. - Épreuve : U31 - MATHÉMATIQUES - Sujet N°26EM08 - page 2/7

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\begin{exercice}[8 points]

Une entreprise fabrique des pieds métalliques pour des tables. Dans la production d'une journée, on 
étudie un échantillon de 120 pieds dont on mesure les longueurs. On obtient la série suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Longueur en mm & 699,4 & 699,6 & 699,8 & 700,0 & 700,2 & 700,4 & 700,6 \\ 
\hline Effectif & 3 & 18 & 12 & 46 & 20 & 19 & 2 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\qst 
Calculer au 1/10 de millimètre près la moyenne puis l'écart type de cette série.

\parindent 0cm
\medskip
On note $X$ la variable aléatoire qui, à un pied de table pris au hasard dans la production, associe sa 
longueur et on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 700$ et d'écart type $\sigma = 0,25$. 

Un pied est estimé conforme si sa longueur appartient à l'intervalle \intff{699,6}{700,4}.

\medskip

\qst Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité $P(699,6 \le X \le 700,4)$.

\qst En déduire la probabilité qu'un pied, pris au hasard dans la production, ne soit pas conforme.

\parindent 0cm
\medskip

Ces pieds sont conditionnés par lot de 4. On considère que le nombre de pieds produits est 
suffisamment important pour permettre d'assimiler un lot à un tirage de 4 pieds choisis au hasard 
et avec remise.

\smallskip

\textit{On admet désormais que la probabilité qu'un pied, pris au hasard dans la production, ne 
soit pas conforme est 0,10.}

\smallskip

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 4 pieds, associe le nombre de pieds non 
conformes.

\medskip

\qst Justifier le fait que la variable $Y$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres. 
\qst Calculer, à $10^{-2}$ près, les probabilités $P(Y = 0)$ et $P(Y \le 1)$.

\end{exercice}


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EXAMEN : BTS A.E.A. - Épreuve : U31 - MATHÉMATIQUES - Sujet N°26EM08 - page 3/7

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\end{document}