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%Sujet aimablement fourni par Éric Loutoby
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environ-\\nement architectural}}
\rfoot{\small{15 mai 2012}}
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\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2012\\ Agencement de l'environnement architectural}}

\vspace{0,5cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip


Un thermomètre de Galilée est composé d'un cylindre contenant un liquide dans lequel sont immergées des boules de différentes masses. Lorsque la température T varie, les boules se mettent en mouvement. On se propose d'étudier le mouvement d'une boule pendant un temps t dans ce type de thermomètre.

\medskip
 
Nous admettons ici que la vitesse $v$ en m.s$^{-1}$ de cette boule, en fonction du temps, est la solution de l'équation différentielle 

\[(\text{E}) \:\::\qquad  y' = cg - \dfrac{k}{m}y\]

vérifiant : $v(0) = 0$, où
 
$c$ est une constante liée aux masses volumiques du liquide et de la boule ; 

$g$ est la constante de gravitation ;
 
$k$ est le coefficient de frottement du liquide sur la boule ;

$m$ est la masse de la boule.

\medskip
 
On donne les valeurs numériques suivantes : 

$m = \np{0,03019}~\text{kg}\: ;\quad  k = 9~.~10^{-3}~\text{kg.s}^{-1} \:;\quad  c = 0,001$  et $g = 9,81~\text{m.s}^{-2}$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer, qu'avec ces valeurs numériques, l'équation différentielle (E) s'écrit (en arrondissant les coefficients de cette équation à $10^{- 2}$ près) :
 
\[(\text{E})\:\: :\qquad  y^{\prime} = 0,01 - 0,3y\]
 
\item Résoudre l'équation différentielle :
 
\[\left(\text{E}_{0}\right)\:\: :\qquad  y^{\prime}+ 0,3y = 0 \]

où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et $y^{\prime}$ est la fonction dérivée de la fonction $y$. 
\item Vérifier que la fonction $h (t) = \dfrac{1}{30}$ est solution particulière de l'équation (E).
\item En déduire la solution générale de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item Déterminer la fonction $v$ solution de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ telle que : $v(0) = 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que pour tout $t$ dans $[0~;~+ \infty[$ : 

\[v(t) = \dfrac{1}{30}\left(1 - \text{e}^{- 0,3t}\right).\]
 
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée $v^{\prime}$ de sur $[0~;~+ \infty[$ est définie par :

$v^{\prime}(t) = 0,01\text{e}^{- 0,3t}$ puis en déduire le sens de variation de $v$ sur son ensemble de définition. 
\item Tracer la courbe représentative de $v$ dans un repère orthogonal \Oij{} pour des valeurs de $t$ comprises entre $0$ et $10$~s, sur le document annexe.
 
(Unités graphiques : 1~cm représente 0,5~s sur l'axe des abscisses et 1~cm représente 0,003~m.s$^{-1}$ sur l'axe des ordonnées.). 
\item Déterminer la limite $v_{l}$, de la vitesse. 
\item À l'aide du graphique puis par le calcul, déterminer à partir de quelle valeur de $t$ la vitesse de la boule est égale à 90\,\% de $v_{l}$, (arrondir la réponse à $0,1$ seconde près).
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip
 
La fabrication d'une boule d'un thermomètre de Galilée requiert une certaine précision, dans la mesure où les masses des différentes boules diffèrent de peu.
 
Une machine produit des boules dont la masse volumique idéale doit être $900,92$kg/m$^3$.
 
\textbf{Préliminaire}

 
Déterminer, au centième près, la masse volumique d'une boule sachant que le rayon de cette boule est de 0,02~m et de masse \np{0,03019}~kg. Le volume est rappelé : 

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On prélève, au hasard, un échantillon de 250 boules, dont on calcule les masses volumiques. On obtient la série suivante :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Masse volumique en kg/m$^3$& 
\tiny[900,9~;~900,91[ &\tiny[900,91~;~900,915[&\tiny[900,915~;~900,92[&\tiny[900,92~;~900,925[ &\tiny[900,925~;~900,93[& \tiny[900,93~;~900,94]\\ \hline 
Effectif &2 &8 &125 &105 &9 &1\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice déterminer la masse volumique moyenne, arrondie au centième, et l'écart-type, arrondi au millième, de cette série. 
\item Une boule est retenue si sa masse volumique appartient à l'intervalle : 

[900,915~;~900,925[.
 
Quel est le pourcentage de boules retenues dans cet échantillon ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à une boule prise au hasard dans la production, associe sa masse volumique et on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 900,92$ et d'écart type $\sigma = \np{0,0022}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité $P(900,915 \leqslant X \leqslant 900,925)$. 
\item En déduire la probabilité, toujours à $10^{-2}$ près, qu'une boule, prise au hasard dans la production, ne soit pas retenue.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Ces boules sont conditionnées par lots de 200. On considère que le nombre de boules produites est suffisamment important pour permettre d'assimiler un lot à un tirage de 200~boules choisies au hasard et avec remise.

\medskip
 
\emph{On suppose désormais que la probabilité qu'une boule, prise au hasard dans la production, ne soit pas retenue est} $0,02$.

\medskip
 
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 200~boules, associe le nombre de boules non retenues.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que la variable $Y$ suit une loi binomiale et en donner les paramètres. 
\item Calculer, à $10^{-3}$ près, les probabilités $P(Y= 0)$ et $P(Y) > 1)$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie D}

\medskip
 
On décide d'approcher la loi de probabilité de $Y$ par une loi de Poisson notée $Z$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le paramètre de cette loi ? 
\item Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200~boules, il y ait exactement 2~boules non retenues ? 
\item Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200~boules, il y ait au moins 4~boules non retenues ? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
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\begin{pspicture}(-0.5,-0.0015)(12,0.033)
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\end{landscape}
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