\documentclass[12pt]{annales}
\usepackage{pst-plot,calrsfs,tabularx}
\begin{document}


\begin{center}

\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR}

\medskip
\textbf{Session 1999}

\medskip
\textbf{\'Epreuve de mathématiques}

\medskip
\textbf{GROUPEMENT B}
\hfil
\textbf{MATGRB}
\hfil

\medskip
\underline{\textsl{\textbf{Durée : 2 heures}}}

\medskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{11.4cm}|c|}\hline
\centering\textbf{SPECIALITÉS}			&	\textbf{COEFFICIENT}	\\\hline
Aménagement finition				&	2	\\\hline
Assistance technique d'ingénieur		&	2	\\\hline
Bâtiment					&	2	\\\hline
Conception et réalisation de carrosseries	&	2	\\\hline
Construction navale				&	2	\\\hline
Constructions métalliques			&	2,5	\\\hline
Domotique					&	2	\\\hline
Enveloppe du bâtiment : façades - étanchéité 	&	2	\\\hline
\'Etude et économie de la construction		&	2	\\\hline
Fluides - énergies - environnements 		&	2	\\\hline
Géologie appliquée				&	1,5	\\\hline
Industries graphiques : communication graphique	&	2	\\\hline
Industries graphiques : productique graphique	&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente automobile 		&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente des engins de travaux&	1	\\
publics et de manutention			&		\\\hline
Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques&	1	\\\hline
Maintenance industrielle			&	2	\\\hline
Mécanique et automatisme industriels		&	2	\\\hline
Microtechniques					&	1,5	\\\hline
Moteurs à combustion interne			&	2	\\\hline
Productique mécanique				&	2	\\\hline
Traitement des matériaux			&	3	\\\hline
Travaux publics					&	2	\\\hline

\end{tabularx}

\bigskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{15.15cm}|}\hline
Les calculatrices de poches sont autorisées conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999. La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\newpage

\exo{9}

\textbf{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.}

Une entreprise de matériel pour l'industrie produit des modules constitués de deux types de pièces : P$_1$ et 
P$_2$.
 
\qst Une pièce P$_1$ est considérée comme bonne si sa longueur, en centimètres, est comprise entre 293,5 et 306,5.\\
On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce P$_1$ choisie au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.\\
On suppose que $L$ suit la loi normale de moyenne 300 et d'écart type 3.\\
Déterminer, à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'une pièce P$_1$ soit bonne.

\qst On note A l'événement : \og une pièce P$_1$ choisie au hasard dans la production des pièces P$_1$ est défectueuse \fg.\\
On note de même B l'événement : \og une pièce P$_2$ choisie au hasard dans la production des pièces P$_2$ est défectueuse \fg.\\
On admet que les probabilités des deux événements A et B sont $\mathrm{P(A)}=0,03$ et $\mathrm{P(B)}=0,07$ et on suppose que ces deux événements sont indépendants.\\
Un module étant choisi au hasard dans la production, calculer, à $10^{-4}$ près, la probabilité de chacun des événements suivants :\\
\qquad E$_1$ : \og les deux pièces du module sont défectueuses \fg ;\\
\qquad E$_2$ : \og au moins une des deux pièces du module est défectueuse \fg ;\\
\qquad E$_3$ : \og aucune des deux pièces constituant le module n'est défectueuse \fg.

\qst Dans un important stock de ces modules, on prélève au hasard 10 modules pour vérification. Le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 modules.\\
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10 modules, associe le nombre de modules réalisant l'événement E$_3$ défii au 2°.\\
On suppose que la probabilité de l'événement E$_3$ est 0,902.
\ssq Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
\ssq Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que, dans un tel prélèvement, 9 modules au moins réalisent l'événement E$_3$.

\newpage

\exo{11}
\medskip
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
\textit{A. Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle (E) :
$y\,''-2y\,'+y=\dfrac{x^2}{2}-x-1$,\\
où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et
deux fois dérivable sur \R, $y\,'$ la fonction dérivée de $y$ et $y\,''$ sa dérivée seconde.

\qst Résoudre sur \R l'équation différentielle~(E') :
$y\,''-2y\,'+y=0$.

\qst Déterminer les constantes réelles $a$, $b$, $c$ pour que la fonction $g$ définie sur \R par :\\
\null\qquad $g(x)=ax^2+bx+c$\quad soit une solution particulière de l'équation (E).

\qst Déduire du 1°) et du 2°) l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

\qst Déterminer la solution $f$ de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0)=0$ et $f(1)=\e+\dfrac{3}{2}$.

\bigskip\numqst1
\textit{B. \'Etude d'une fonction}

Soit $f$ et $g$ les fonctions de la variable réelle $x$ définies sur \R par :
\[f(x)=x\e^x+\dfrac{x^2}{2}+x\mbox{ et }g(x)=\dfrac{x^2}{2}+x.\]

On note $\cal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\cal{P}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni du repère orthonormal $(O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ (unité graphique 2 cm).

\qst Déterminer 
$\displaystyle{\lim _{x\to +\infty}f(x)}$,
$\displaystyle{\lim _{x\to -\infty}f(x)}$
et
$\displaystyle{\lim _{x\to -\infty}[f(x)-g(x)]}$.\\
Interpréter graphiquement le dernier résultat.

\qst \'Etudier sur \R la position relative des deux courbes $\cal{C}$ et $\cal{P}$.

\qstssq Démontrer que, pour tout $x$ de \R :\qquad
$f'(x)=(x+1)(\e^{x}+1)$.
\ssq \'Etudier les variations de $f$ sur \R.

\qstssq Compléter le tableau de valeurs figurant sur la feuille annexe (à rendre avec la copie) ; les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.
\ssq Construire la courbe $\cal{C}$ dans le repère $(O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ sur la feuille annexe (à rendre avec la copie) où figure la courbe $\cal{P}$.

\qstssq Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\cal{C}$, la parabole $\cal{P}$ et les droites d'équation $x=-3$ et $x=-2$ est 
$\mathrm{A}=4(-4\,\e^{-3}+3\,\e^{-2})$.
\ssq Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de A.


\newpage

\centerline{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{12mm}
\textbf{Partie B}

4°) a)

\medskip
\qquad
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -3 & -2,5 & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 & 0,5 & 1 \\
\hline
f(x) & \hphantom{-2,5} &  & \hphantom{-2,5} &  & \hphantom{-2,5} &  & \hphantom{-2,5} & \hphantom{-2,5} & \hphantom{-2,5}\\
\hline
\end{array}$

\bigskip
\decalqst
b)

\begin{center}

\psset{unit=22mm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(1,4.5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=0.03]{->}(0,0)(-3,-1)(1,4.5)
\psgrid[unit=0.5,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-2)(2,9)
\parabola[linewidth=0.02](-3,1.5)(-1,-0.5)
\rput(0.75,0.2){$x$}
\rput(-0.2,4.25){$y$}
\rput(0.9,-0.2){1}
\rput(-1.1,-0.2){$-1$}
\rput(-2.9,-0.2){$-3$}
\rput(-0.1,1.1){1}
\rput(0.1,-0.1){O}
\rput(0.7,0.7){$\cal{P}$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{document}

