\documentclass[12pt]{annales}
\usepackage{curves,tabularx} 

\newcommand{\intit}[1]{%
\vfill\centerline{%
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{7.3cm}|p{3.5cm}|l|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{GROUPEMENT B DES BTS}
&
SESSION 2000
\\
\hline
MATGRB
&
DUREE : 2 h
&
COEFFICIENT : 2
\\
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{MATH\'EMATIQUES}
&
\multicolumn{1}{c|}{Page #1 sur 5}
\\
\hline
\end{tabularx}}}

\begin{document}


\begin{center}

\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR}

\medskip
\textbf{Session 2000}

\medskip
\textbf{\'Epreuve de mathématiques}

\medskip
\textbf{GROUPEMENT B}
\hfil
\textbf{MATGRB}
\hfil

\medskip
\underline{\textsl{\textbf{Durée : 2 heures}}}

\medskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{11.4cm}|c|}\hline
\centering\textbf{SPECIALITÉS}			&	\textbf{COEFFICIENT}	\\\hline
Aménagement finition				&	2	\\\hline
Assistance technique d'ingénieur		&	2	\\\hline
Bâtiment					&	2	\\\hline
Conception et réalisation de carrosseries	&	2	\\\hline
Construction navale				&	2	\\\hline
Constructions métalliques			&	2,5	\\\hline
Domotique					&	2	\\\hline
Enveloppe du bâtiment : façades - étanchéité 	&	2	\\\hline
\'Etude et économie de la construction		&	2	\\\hline
Fluides - énergies - environnements 		&	2	\\\hline
Géologie appliquée				&	1,5	\\\hline
Industries graphiques : communication graphique	&	2	\\\hline
Industries graphiques : productique graphique	&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente automobile 		&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente des engins de travaux&	1	\\
publics et de manutention			&		\\\hline
Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques&	1	\\\hline
Maintenance industrielle			&	2	\\\hline
Mécanique et automatisme industriels		&	2	\\\hline
Microtechniques					&	1,5	\\\hline
Moteurs à combustion interne			&	2	\\\hline
Productique mécanique				&	2	\\\hline
Traitement des matériaux			&	3	\\\hline
Travaux publics					&	2	\\\hline

\end{tabularx}


\end{center}

\intit{1}

\newpage













\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{16.6cm}|}\hline
\begin{footnotesize}
Les calculatrices de poches sont autorisées conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.\newline
La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
\end{footnotesize}
\\\hline
\end{tabularx}


\bigskip
\exo{8}

\medskip
\textbf{Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip
Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités d'un certain type de boulons. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre de la tête ou le diamètre du pied d'un boulon est conforme à la norme en vigueur.

\medskip
\textbf{Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront donnés à $\boldsymbol{10^{-2}}$ près.}

\qst Un boulon de ce type est considéré comme conforme pour le diamètre de sa tête si celui-ci est, en millimètres, compris entre 25,30 et 25,70.\\
On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque boulon choisi au hasard dans un lot très important, associe le diamètre de sa tête.\\
On suppose que $D$ suit la loi normale de moyenne 25,50 et d'écart-type 0,10.\\[1ex]
Déterminer la probabilité qu'un boulon choisi au hasard dans le lot soit conforme pour le diamètre de sa tête.

\qst Dans un lot de ce type de boulons, 96\% ont le diamètre de la tête conforme.\\
On prélève au hasard 10 boulons de ce lot pour vérification du diamètre de leur tête. Le stock est suffisament important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10
boulons.\\
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10 boulons, associe le nombre de boulons conformes pour le diamètre de la tête.

\ssq Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

\ssq Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un boulon ne soit pas conforme pour le diamètre de la tête.

\qst Dans cette question, on veut contrôler la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres, en mm, des pieds de boulons constituant un stock très important ; on se propose de contruire un test d'hypothèse.\\
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque boulon tiré au hasard dans le stock, associe le diamètre, en mm, de son pied.\\
La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart-type $\sigma=0,1$.\\
On désigne par $\overline{Y}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 boulons prelevé dans un stock, associe la moyenne des diamètres des pieds de ces 100 boulons (le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).

\intit{2}
\newpage


L'hypothèse nulle est H$_0$ : $\mu=10$. Dans ce cas les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied.\\
L'hypothèse alternative est H$_1$ : $\mu \neq 10$.
Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.

\ssq Justifier que, sous l'hypothèse nulle H$_0$, $\overline{Y}$ suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart-type 0,01.

\ssq Sous l'hypothèse nulle H$_0$, déterminer le nombre réel positif $h$ tel que\\
$P(10-h \le \overline{Y} \le 10+h)=0,95$.

\ssq \'Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.

\ssq On prélève un échantillon de 100 boulons et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres des pieds est $\bar{y}=10,03$.\\
Peut-on, au risque de 5 \%, conclure que les boulones du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied ?


\intit{3}
\newpage



\exo{12}

\medskip
{\sl L'objectif de cet exercice est de résoudre une équation différentielle dont une solution particulière est susceptible de définir une fonction de densité en probabilités.} 

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textsl{A . Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle (E) : $y''-4y = - \dfrac{16}{3}\,{\rm e}^{-2x}$
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, $y'$ la fonction dérivée de $y$, et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\qst Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle (E$_0$) : $y''-4y=0$.

\qst Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g (x) = \dfrac{4}{3}\,x\,{\rm e}^{-2x}$
est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

\qst En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

\qst Déterminer la solution particulière $h$ de l'équation différentielle (E) vérifiant les conditions 
\[
   h (0) = \dfrac{4}{3}
      \qquad {\rm et} \qquad
   h' (0) = -\dfrac{4}{3}.
\]

\medskip\numqst1
\textsl{B . \' Etude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty [$ par $f (x) = \dfrac{4}{3} (1+x) {\rm e}^{-2x}$.

\begin{minipage}{7cm}
\unitlength 1cm
\begin{picture}(7,7)
\put(0.4,0){\vector(0,1){6.7}}
\put(0,0.5){\vector(1,0){6.5}}
\put(0.3,6){\line(1,0){0.2}}
\put(0.3,3.25){\line(1,0){0.2}}
\put(2.4,0.4){\line(0,1){0.2}}
\put(4.4,0.4){\line(0,1){0.2}}
{\thicklines\curve(0.4,4.157,2.4,1.493,4.4,0.7,6.4,0.536)}
\put(0.1,0){0}
\put(2.3,0){1}
\put(4.3,0){2}
\put(0,3.2){1}
\put(0,5.8){2}
\put(2,2.2){C}
\end{picture}
\end{minipage} 
\begin{minipage}{9cm}
Une représentation graphique C de $f$, dans un repère orthogonal, est donnée ci-contre.

\qst Le graphique suggère un sens de variation pour la fonction $f$.
L'objet de cette question est de justifier ce résultat. 

\ssq Démontrer que, pour tout $x$ de $[0, +\infty [$,
\[f' (x) = -\dfrac{4}{3} (2x+1){\rm e}^{-2x}.\]

\ssq En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0, +\infty[$.

\end{minipage}

\qst Le graphique permet d'envisager une asymptote en $+\infty $ pour la courbe C. \` A partir de l'expression de $f (x)$, déterminer une limite de $f$ justifiant cette propriété graphique.

\qstssq \`A l'aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle $t\mapsto {\rm e}^t$, donner le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction $x\mapsto {\rm e}^{-2x}$.

\ssq En déduire que le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction $f$ est :
\[
   f (x) = \dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3}\,x + \dfrac{8}{9}\,x^3 + x^3 \varepsilon(x)
      \qquad {\rm avec} \quad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
\]


\intit{4}
\newpage


\ssq En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse~0 et la position relative de C et T, pour $x$ positif au voisinage de 0.

\qstssq \`A l'aide d'une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l'intégrale :
\[
   I = \int_{0}^{3} f(x) \, \mathrm{d}x.
\]
Donner une valeur approchée, arrondie au centième, de l'intégrale $I$.\\
Donner une interprétation graphique de l'intégrale $I$.

\ssq Sur l'écran d'une calculatrice, équipée d'un logiciel
particulier (calcul formel), on lit le résultat suivant, où $t$ est un
nombre réel positif quelconque~:
\[
   I = \int_0^t f(x) \, \mathrm{d}x = \left( -\dfrac{2}{3} \, t - 1\right) {\rm e}^{-2t}
   + 1.
\]
\textbf{Ce résultat est admis ici et n'a donc pas à être démontré.}\\
Déterminer
$\lim _{t\to +\infty } \left( -\dfrac{2}{3} \, t - 1\right) {\rm e}^{-2t}$.

\ssq Soit $A (t)$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du
plan limitée par les axes de coordonnées, la courbe C, et la
droite d'équation $x=t$ où $t$ est un nombre réel positif.\\
Déterminer $\displaystyle {J = \lim _{t\to +\infty } A(t)}$.

\ssq Déterminer la valeur exacte de $J-I$ où $I = A (3)$ a
été calculé à la question 4°) a), et en déduire la double
inégalité~: $0\leq J-I\leq 10^{-2}$.\\
Donner, à l'aide d'une phrase, une interprétation
graphique de $J-I$.


\intit{5}


\end{document}