\documentclass[12pt]{annales}
\usepackage{pst-plot,calrsfs,tabularx}
\begin{document}

\newcommand{\intit}[1]{%
\vfill\centerline{%
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{7.3cm}|p{3.5cm}|l|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{GROUPEMENT B DES BTS}
&
SESSION 2002
\\
\hline
MATGRB
&
DUREE : 2 h
&
COEFFICIENT : 2
\\
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{MATH\'EMATIQUES}
&
\multicolumn{1}{c|}{Page #1 sur 5}
\\
\hline
\end{tabularx}}}






\begin{center}

\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR}

\medskip
\textbf{Session 2002}

\medskip
\textbf{\'Epreuve de mathématiques}

\medskip
\textbf{GROUPEMENT B}
\hfil
\textbf{MATGRB}
\hfil

\medskip
\underline{\textsl{\textbf{Durée : 2 heures}}}

\medskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{11.4cm}|c|}\hline
\centering\textbf{SPECIALITÉS}			&	\textbf{COEFFICIENT}	\\\hline
Aménagement finition				&	2	\\\hline
Assistance technique d'ingénieur		&	2	\\\hline
Bâtiment					&	2	\\\hline
Conception et réalisation de carrosseries	&	2	\\\hline
Construction navale				&	2	\\\hline
Constructions métalliques			&	2,5	\\\hline
Domotique					&	2	\\\hline
Enveloppe du bâtiment : façades - étanchéité 	&	2	\\\hline
\'Etude et économie de la construction		&	2	\\\hline
Fluides - énergies - environnements 		&	2	\\\hline
Géologie appliquée				&	1,5	\\\hline
Industries graphiques : communication graphique	&	2	\\\hline
Industries graphiques : productique graphique	&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente automobile 		&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente des engins de travaux&	1	\\
publics et de manutention			&		\\\hline
Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques&	1	\\\hline
Maintenance industrielle			&	2	\\\hline
Mécanique et automatisme industriels		&	2	\\\hline
Microtechniques					&	1,5	\\\hline
Moteurs à combustion interne			&	2	\\\hline
Productique mécanique				&	2	\\\hline
Traitement des matériaux			&	3	\\\hline
Travaux publics					&	2	\\\hline

\end{tabularx}

\bigskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{15.15cm}|}\hline
Les calculatrices de poches sont autorisées conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999. La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\intit{1}

\newpage

\exo{8}

\centerline{\bf Les quatres questions de cet exercice sont indépendantes.}

Dans un groupe d'assurances on s'intéresse aux sinistres suceptibles
de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une
importante entreprise de maintenance de chauffage collectif.

\smallskip
{\bf Dans cet exercice, sauf mention du contraire, les résultats sont
à arrondir à $\boldsymbol{10^{-3}}$.}

\medskip
\qst {\sl \' Etude du nombre de sinistres par véhicule}

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard
dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres
survenant pendanr l'année considérée.

On admet que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre 0,28.

\ssq Calculer la probabilité de l'événement\\
A~: \og \textsl{un véhicule tiré au hasard dans le parc n'a aucun sinistre pendant
l'année considérée} \fg.

\ssq Calculer la probabilité de l'événement\\
B~: \og \textsl{un véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres
pendant l'année considérée} \fg.

\qst {\sl \' Etude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs}
On note E l'événement~: \og \textsl{un conducteur tiré au hasard dans
l'ensemble des conducteurs de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant
l'année considérée} \fg.\\
On suppose que la probabilité de l'événement E est 0,6.

\smallskip
On tire au hasard 15 conducteurs dans l'effectif des conducteurs de
l'entreprise. Cet effectif est assez important pour que l'on puisse
assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 15 conducteurs.

\smallskip
On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 15
conducteurs, associe le nombre de conducteurs n'ayant pas de sinistre
pendant l'année considérée.

\ssq Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres. 

\ssq Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n'aient pas de sinistre pendant l'année considérée.

\qst {\sl \' Etude du coût des sinistres}

Dans ce qui suit, on s'intéresse au coût d'une certaine catégorie de
sinistres survenus dans l'entreprise pendant l'année considérée.

\smallskip
On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre tiré au
hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son coût en euros.\\
On suppose que $C$ suit la loi normale de moyenne 1\,200 et d'écart type 200.

\smallskip
Calculer la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les
sinistres de ce type coûte entre 1\,000 euros et 1\,500 euros.

\intit{2}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{8cm}p{7mm}p{8cm}}
\qst

\begin{tabular}{|p{8cm}|}\hline
{\bf La question ci-dessous doit être traitée par les
candidats de toutes les spécialités de BTS du groupement B, 
à l'exception du BTS Maintenance et exploitation des matériels
aéronautiques.}\\\hline
\end{tabular}

\bigskip
On considère un échantillon de 100 véhicules prélevés au hasard dans
le parc de véhicules mis en service depuis 6 mois.  Ce parc contient
suffisamment de véhicules pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un
tirage avec remise.

On constate que 91 véhicules de cet échantillon n'ont pas eu de
sinistre.

\ssq Donner une estimation ponctuelle du pourcentage $p$ de
véhicules de ce parc qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.

\ssq Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 véhicules prélevés au hasard et avec remise dans ce parc, associe le pourcentage de véhicules qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.\newline
On suppose que $F$ suit la loi normale\linebreak
${\cal N} \left(p, \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{100}}\right)$,
où $p$ est le pourcentage inconnu de véhicules du parc qui n'ont pas
eu de sinistre 6~mois après leur mise en service.\newline
Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage $p$
avec le coefficient de confiance 95 \%. 

\ssq On considère l'affirmation suivante~: \og le pourcentage $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question b) \fg.\newline
Est-elle vraie~? (On ne
demande pas de justification.)

&&

\numqst{4}
\qst

\begin{tabular}{|p{7.5cm}|}\hline
\textbf{La question ci-dessous doit être traitée uniquement par
les candidats au BTS Maintenance et exploitation des matériels
aéronautiques.}\\\hline
\end{tabular}

\bigskip
Pour un parc de véhicules, on a relevé le nombre de sinistres par
véhicule pendant la première année de mise en service.

Pour les véhicules ayant eu, au plus, quatre sinistres, on a obtenu~:

\medskip
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}\hline
\begin{tabular}{p{2.2cm}}
Nombre de sinistres : $x_i$
\end{tabular}
&
0
&
1
&
2
&
3
&
4
\\
\hline
\ Effectif : $n_i$
&
1345
&
508
&
228
&
78
&
35
\\
\hline
\end{tabular}

\medskip
\ssq Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}\hline
\begin{tabular}{p{2.2cm}}
Nombre de sinistres : $x_i$
\end{tabular}
&
0
&
1
&
2
&
3
&
4
\\
\hline
\ $y_i=\ln n_i$
&
\rule{6mm}{0pt}
&
\rule{6mm}{0pt}
&
\rule{6mm}{0pt}
&
\rule{6mm}{0pt}
&
\rule{6mm}{0pt}
\\
\hline
\end{tabular}

\medskip
\ssq Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme\linebreak $y = ax+b$ où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$.

\medskip
\ssq \`A l'aide de l'équation précédente, estimer le nombre de véhicules ayant eu six sinistres pendant leur première année de mise en circulation.

\end{tabularx}

\intit{3}

\newpage

\exo{12}

\centerline{\bf Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle 
\[
\mathrm{(E)} : y''- y' - 2y = (-6\,x-4)\,\mathrm{e}^{-x},
\]
où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur \R, $y'$ sa fonction dérivée première et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\qst Résoudre sur \R l'équation différentielle (E$_0$) : $y''-y'-2y = 0$.

\qst Soit $h$ la fonction définie sur \R par : $h (x) = (x^2 + 2x) e^{-x}$.\\
Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

\qst En déduire l'ensemble des solutions de l'équation diférentielle (E).

\qst Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E)
qui vérifie les conditions initiales~:
\[
   f(0) = 1
      \qquad \mathrm{et} \qquad
   f'(0) = 1.
\]

\numqst1
\textbf{B -- \' Etude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (x+1)^2.\e^{-x}$.\\
Sa courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal est donnée sur la figure ci-après.

\qstssq Calculer 
$\displaystyle { 
   \lim_{x\to -\infty} f(x)
}$.

\ssq Déterminer
$\displaystyle { 
   \lim_{x\to +\infty} x^2 \e^{-x}
}$ et 
$\displaystyle { 
   \lim_{x\to +\infty} x \e^{-x}
}$.
En déduire
$\displaystyle { 
   \lim_{x\to +\infty} f(x)
}$.

\ssq Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b).

\qstssq Démontrer que, pour tout $x$ de \R, 
$f'(x) = (1-x^2).\e^{-x}$.
\ssq Résoudre dans \R l'inéquation $f'(x) \geq 0$.
\ssq En déduire le sens de variation de $f$ sur \R.

\qstssq \`A l'aide du développement limité au voisinage de
$0$ de la fonction exponentielle $t\mapsto \e^t$, donner le
développement limité, à l'ordre~$2$, au voisinage de $0$ de la
fonction $x\mapsto \e^{-x}$.

\ssq Démontrer que le développement limité, à l'ordre~$2$, au
voisinage de~$0$ de la fonction $f$ est~:
\[
   f(x) = 1 + x - \dfrac{1}{2}\, x^2 + x^2 \varepsilon(x)
   \mbox{ avec } \lim_{x\to 0} \varepsilon(x) = 0.
\]

\ssq En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe
$C$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $C$ et $T$ au
voisinage de ce point.

\intit{4}

\newpage

\numqst1\textbf {C -- Calcul intégral}

\qstssq La fonction $f$ définie dans la partie {\bf B} étant
une solution de l'équation différentielle (E)~:
\[
  y''-y'-2y = (-6\,x-4)\, \e^{-x},
\]
montrer que $f$ vérifie, pour tout $x$ de \R,
\[
  f(x) = \dfrac{1}{2} \left[ f''(x) - f'(x) + (6\,x+4)\, \e^{-x}\right].
\]

\ssq Soit $F$ la fonction définie sur \R par~:
\[
  F(x) = \dfrac{1}{2} \left[ f'(x) - f(x) - (6\,x+10)\, \e^{-x}\right].
\]
Vérifier que, pour tout $x$ de \R,
\[
  F(x) = (-x^2 -4\,x-5)\, \e^{-x}.
\]

\qst Utiliser ce qui précède pour démontrer que l'aire A de la
partie du plan hachurée sur la figure est, en unité d'aire,
\[
  \mathrm{A} = 2 \, \e - 5.
\]

\bigskip
\centerline{%
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-0.3)(5,3)
\psaxes[linewidth=0.02,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-2,-0.3)(5,3)
\psline[linewidth=0.02,arrows=<->](0,1)(0,0)(1,0)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0]
\psplot[linewidth=0.02]{-2}{5}{x 1 add dup mul 2.718 x -1 mul exp mul}
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\psplot[linewidth=0.03]{-1}{0}{x 1 add dup mul 2.718 x -1 mul exp mul}
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{\psplot[linewidth=0.03]{-1}{0}{x 1 add dup mul 2.718 x -1 mul exp mul}}
\rput(-1,-0.2){$-1$}
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
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\rput(-0.2,2.7){$y$}
\rput(2.6,1.3){$C$}
\end{pspicture*}
}

\intit{5}

\end{document}