\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{pst-plot,calrsfs,tabularx}

\newcommand{\intit}[1]{%
\vfill\centerline{%
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{7.3cm}|p{3.5cm}|l|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{GROUPEMENT B DES BTS}
&
SESSION 2003
\\
\hline
MATGRB1
&
DUREE : 2 h
&
COEFFICIENT : 2
\\
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{MATH\'EMATIQUES}
&
\multicolumn{1}{c|}{Page #1 sur 5}
\\
\hline
\end{tabularx}}}

\begin{document}

\begin{center}

\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR}

\vspace{1cm}
\textbf{Session 2003}

\vspace{1cm}
\textbf{\'Epreuve de mathématiques}

\vspace{1cm}
\textbf{GROUPEMENT B1}
\hfil
\textbf{CODE : MATGRB1}
\hfil

\vspace{1cm}
\textsl{\textbf{Durée : 2 heures}}

\vspace{1cm}
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{11.4cm}|c|}\hline
\centering\textbf{SPECIALITÉS}			&	\textbf{COEFFICIENT}	\\\hline
Aménagement finition				&	2	\\\hline
Assistance technique d'ingénieur		&	2	\\\hline
Bâtiment					&	2	\\\hline
Conception et réalisation de carrosseries	&	2	\\\hline
Construction navale				&	2	\\\hline
Enveloppe du bâtiment : façades - étanchéité 	&	2	\\\hline
Fluides - énergies - environnements 		&	2	\\\hline
Géologie appliquée				&	1,5	\\\hline
Industries graphiques : communication graphique	&	2	\\\hline
Productique mécanique				&	2	\\\hline
Travaux publics					&	2	\\\hline

\end{tabularx}

\vspace{1cm}
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{15.15cm}|}\hline
Les calculatrices de poches sont autorisées conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999. La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\intit{1}

\newpage

\begin{exercice}[9 points]

\begin{center}
\textbf{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes}
\end{center}


\begin{minipage}{6.5cm}%}{p{10cm}c}
Dans une usine du secteur de l'agroalimentaire, une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d'eau et par une file d'approvisionnement en bouteilles vides, selon le schéma ci-contre.\newline
L'exercice consiste en une étude statistique du bon fonctionnement de ce système. 
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\psset{unit=1mm}
\begin{pspicture}(0,0)(100,53)
\psframe[linewidth=0.15,fillstyle=vlines,hatchwidth=0.28,hatchsep=2.92,hatchangle=0.00](15,13)(45,18)
\pscircle[linewidth=0.15,linecolor=black](57.5,15.5){7.50}
\psframe[linewidth=0.15,fillstyle=vlines,hatchwidth=0.28,hatchsep=2.92,hatchangle=0](70,13)(100,18)
\psline[linewidth=0.15]{-}(65,15.5)(70,15.5)
\psline[linewidth=0.15]{-}(45,15.5)(50,15.5)
\psline[linewidth=0.15]{-}(70,13)(70,13)
\psline[linewidth=0.15]{-}(57.5,23)(57.5,28)
\psframe[linewidth=0.15](50,28)(65,53)
\rput[l](50,40){\begin{footnotesize}Réservoir\end{footnotesize}}
\rput[l](20,22){\begin{footnotesize}File d'entrée\end{footnotesize}}
\rput[l](75,22){\begin{footnotesize}File de sortie\end{footnotesize}}
\rput[l](51,16){\begin{footnotesize}Machine\end{footnotesize}}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\qst \textit{Défaut d'approvisionnement}\\
On considère qu'il y a un défaut d'approvisionnement :\\
\qquad - soit lorsque la file d'entrée des bouteilles est vide,\\
\qquad - soit lorsque le réservoir est vide.\\
On tire un jour ouvrable au hasard dans une année.
On note $A$ l'événement : \og la file d'entrée est vide au moins une fois dans la journée \fg et $B$ l'événement : \og le réservoir est vide au moins une fois dans la journée \fg.\\
On suppose que les événements $A$ et $B$ sont indépendants et une étude statistique a montré que $P(A)=0,04$ et $P(B)=0,02$.\\
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

\ssq $E_{1}=A\cap B$
\ssq $E_{2}$ : \og la machine a connu au moins un défaut d'approvisionnement dans la journée \fg.


\qst \textit{Pannes de la machine sur une durée de 100 jours}\newline On
note $X$ la variable aléatoire qui à toute période de 100 jours
consécutifs, tirée au hasard dans les jours ouvrables d'une année,
associe le nombre de pannes de la machine. Une étude, menée par le
constructeur sur un grand nombre de machines de ce type, permet d'admettre que
$X$ suit la loi de Poisson de paramètre 0,5.\newline Déterminer, à
l'aide de la table du formulaire :

\ssq $P(X \leq 2)$ ;

\ssq la probabilité de l'événement : \og la machine a au plus quatre pannes pendant la période de 100 jours consécutifs \fg.

\ssq le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leq n) \geq 0,99$.


\textbf{Dans ce qui suit les volumes sont exprimés en litres et tous les
résultats approchés sont à arrondir à $\boldsymbol{10^{-3}}$}.

\intit{2}
\newpage


\qst \textit{Qualité de l'embouteillage à la sortie}.\\
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard dans la production d'une heure, associe le volume d'eau qu'elle contient. On admet que, lorsque la machine est bien réglée, $Y$ suit la loi normale de moyenne 1,5 et d'écart type 0,01.\\
Une bouteille est conforme aux normes de l'entreprise lorsqu'elle contient entre 1,47 et 1,53 litre d'eau.\\ 
Calculer la probabilité qu'une bouteille satisfasse à la norme.


\qst \textit{Test d'hypothèse}\\
Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine, on construit un test d'hypothèse bilatéral qui sera mis en oeuvre toutes les heures.\\
Pour une production d'une heure, la variable aléatoire $Z$ qui, à toute bouteille prise au hasard dans cette production, associe le volume d'eau qu'elle contient, suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma=0,01$. Dans cette question, la moyenne $\mu$ est inconnue.\\
On désigne par $\bar{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 bouteilles prélevé dans cette
production d'une heure, associe la moyenne des volumes d'eau contenus dans les bouteilles de cet échantillon (la production pendant une heure est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).\\
On considère que la machine est bien réglée lorsque $\mu=1,5$.\\
L'hypothèse nulle est H$_{0}$ : \og $\mu = 1,5$ \fg.\\
L'hypothèse alternative est H$_{1}$ : \og $\mu \neq 1,5$ \fg.\\
Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.

\ssq Justifier le fait que, sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, $\bar{Z}$ suit la loi normale de moyenne 1,5 et d'écart type 0,001.

\ssq Sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, déterminer le nombre $h$ positif tel que :%
\[
P(1,5-h \leq \bar{Z} \leq 1,5+h)=0,95.
\]

\ssq \'Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.

\ssq On prélève un échantillon de 100 bouteilles et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des volumes d'eau contenus dans ces bouteilles est $\bar{z}=1,495$.\\
Peut-on, au seuil de 5 \%, conclure que la machine est bien réglée ?

\end{exercice}



\intit{3}
\newpage


\begin{exercice}[11 points]

\centerline{\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}

\medskip

\textit{A.\ Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle $(E):y\,'+y=2\,\e^{-x}$

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur \R et $y\,'$ sa fonction dérivée.

\qst Déterminer les solutions sur \R de l'équation différentielle $(E_{0}):y\,'+y=0$.

\qst Soit $h$ la fonction définie sur \R par $h(x)=2x\,\e^{-x}$.\\
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\qst En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\qst Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe représentative, dans un repère
orthonormal, passe par le point de coordonnées $(0,3)$.

\bigskip
\parindent0cm
\numqst1
\textit{B. Etude d'une fonction}

\qst La courbe $C$ ci-dessous représente dans un repère orthonormal
$\left(  O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)$ une fonction $f$
définie sur~\R par $f(x)=(ax+b)\e^{-x}$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
\newline
La droite $\Delta$ est la tangente à la courbe $C$ au point $A$ d'abscisse 0.
Cette tangente passe par le point~$B$ de coordonnées $(3,0)$.

\medskip
\hspace{1in}
\psset{unit=1.3}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.01,gridlabels=0.3](0,0)(-2,-2)(6,4)
\psline(-1,4)(5,-2)
\psline(-2,0)(6,0)
\psline(0,-2)(0,4)
\psplot{-1.69}{6}{ 2 x mul 3 add 2.7 x neg exp mul}
\rput(-1.5,2.5){$C$}
\rput(3.1,0.2){$B$}
\rput(-0.5,3.8){$\Delta$}
\rput(0.2,3.2){$A$}
\end{pspicture}


\ssq Déterminer graphiquement $f(0)$.

\ssq Déterminer, graphiquement ou par le calcul, $f\,'(0)$.

\ssq Déterminer les valeurs des nombres réels $a$ et $b$.

\intit{4}
\newpage

\decalqst
\textbf{Dans la suite on admet que $\boldsymbol{f}$ est définie sur $\boldsymbol{\R}$
par : }%
\[
f(x)=(2x+3)\e^{-x}.%
\]

\qstssq Démontrer que, pour tout $x$ de \R : $f\,'(x)=(-2x-1)\e^{-x}$ ;

\ssq Résoudre sur \R l'inéquation $f\,'(x)\geq0$ ;

\ssq En déduire le sens de variation de $f$ sur \R.
\newline
(on ne cherchera pas les limites en $-\infty$ et $+\infty$)

\qstssq Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au
voisinage de 0, de la fonction $x\mapsto \e^{-x}.$

\ssq Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au
voisinage de 0, de la fonction $f$ est : $f(x)=3-x-\dfrac{1}{2}\,x^{2}
+x^{2}\varepsilon(x)$ avec $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\varepsilon(x)=0$.


\medskip
\numqst1
\parindent0cm
\textit{C.\ Calcul intégral}

\qst La fonction $f$ définie dans la partie $B$ est une solution de
l'équation différentielle $(E)$ de la partie $A$.
Donc, pour tout $x$ de \R, $f(x)=-f\,'(x)+2\e^{-x}$.
\newline
En déduire une primitive $F$ de $f$ sur \R.

\qst On note $I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\,{\rm d}x$.

\ssq Démontrer que $I=5-6\e^{-\frac{1}{2}}$.

\ssq Donner une valeur approchée arrondie à 10$^{-3}$ de $I$.

\qst On note $J=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(3-x-\frac{1}{2}\,x^{2}\right)\,{\rm d}x$.

\ssq Démontrer que $J=\dfrac{65}{48}$.

\ssq Donner une valeur approchée à 10$^{-3}$ de $J$.

\ssq Vérifier que les valeurs approchées obtenues ci-dessus pour $I$
et $J$ diffèrent de moins de 10$^{-2}$.

\end{exercice}


\intit{5}

\end{document}
