\documentclass[12pt]{annales}
\usepackage{tabularx}
\begin{document}

\newcommand{\intit}[1]{%
\vfill\centerline{%
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{7.3cm}|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{GROUPEMENT B DES BTS}
&
Session 2004
\\
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Mathématiques}
&
MATGRB
\\
\hline
&
Durée : 2 heures
&
Page #1 sur 5
\\
\hline
\end{tabularx}}}






\begin{center}

\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR}

\medskip
\textbf{Session 2004}

\medskip
\textbf{\'Epreuve de mathématiques}

\medskip
\textbf{GROUPEMENT B}
\hfil
\textbf{\textit{CODE : MATGRB}}
\hfil

\medskip
\textbf{Durée : 2 heures}

\medskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{11.4cm}|c|}\hline
\centering\textbf{SPECIALITÉS}			&	\textbf{COEFFICIENT}	\\\hline
Aménagement finition				&	2	\\\hline
Assistance technique d'ingénieur		&	2	\\\hline
Bâtiment					&	2	\\\hline
Conception et réalisation de carrosseries	&	2	\\\hline
Construction navale				&	2	\\\hline
Constructions métalliques			&	2,5	\\\hline
Domotique					&	2	\\\hline
Enveloppe du bâtiment : façades - étanchéité 	&	2	\\\hline
\'Etude et économie de la construction		&	2	\\\hline
Fluides - énergies - environnements 		&	2	\\\hline
Géologie appliquée				&	1,5	\\\hline
Industries graphiques : communication graphique	&	2	\\\hline
Industries graphiques : productique graphique	&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente automobile 		&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente des engins de travaux&	1	\\
publics et de manutention			&		\\\hline
Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques&	1	\\\hline
Maintenance industrielle			&	2	\\\hline
Mécanique et automatisme industriels		&	2	\\\hline
Microtechniques					&	1,5	\\\hline
Moteurs à combustion interne			&	2	\\\hline
Productique mécanique				&	2	\\\hline
Traitement des matériaux			&	3	\\\hline
Travaux publics					&	2	\\\hline

\end{tabularx}

\bigskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{15.15cm}|}\hline
Les calculatrices de poches sont autorisées conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999. La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\intit{1}

\newpage

\exo{9}
\centerline{\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}}

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques
cylindriques pour l'industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres.

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à $\boldsymbol{10^{-2}}$.}
\end{center}

\textit{A.\ Loi normale}

Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l'intervalle 
$[99,45\,;\,100,55]$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne 100 et d'écart type 0,25.

\qst Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur.

\qst Déterminer le nombre réel $h$ positif tel que :\\
$P(100-h \leq X \leq 100+h) = 0,95$.\\
Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.

\bigskip
\numqst1
\textit{B. Loi binomiale et loi de Poisson}

Dans un lot de ce type de tiges, 3 \% des tiges ne sont pas conformes pour la longueur.

On prélève au hasard 50 tiges de ce lot pour vérification de la longueur.
Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tiges.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 50 tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur.

\qst Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

\qst Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur.

\qst Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur.

\qst On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson.\\
Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.

\qst On désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ a la valeur obtenue au \textbf{4.}\\
Calculer $P(Z=2)$ et $P(Z \leq 2)$.


\intit{2}
\newpage

\numqst1
\textit{C. Intervalle de confiance}

Dans cette question on s'intéresse au diamètre des tiges, exprimé en millimètres.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 50 tiges dans la production d'une journée.

Soit $\bar{D}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 tiges prélevées au hasard et avec remise dans la production d'une journée, associe la moyenne des diamètres des tiges de cet échantillon.

On suppose que $\bar{D}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\frac{\sigma}{\sqrt{50}}$ avec $\sigma=0,19$.

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à $10^{-2}$, est $\bar{x}=9,99$.

\qst A partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ des diamètres des tiges produites dans cette journée.

\qst Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\bar{x}$ de la moyenne $\mu$ des diamètres des tiges produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance 95 \%.

\qst On considère l'affirmation suivante : \og la moyenne $\mu$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question \textbf{2.} \fg.\\
Est-elle vraie ? (on ne demande pas de justification).


\intit{3}
\newpage


\exo{11}
\textit{Dans cet exercice, on étudie une fonction qui intervient dans des calculs de probabilité à propos de la crue d'un fleuve.}\\
\textit{(Source : un bureau d'étude du domaine de l'équipement.)}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\textit{A. Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle $(E)\ :\ y^{\prime}+(0,4x)y=0,4x$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$, et $y^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\qst Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E_{0})\ :\ y^{\prime}+(0,4x)y=0$.

\qst Montrer que la fonction constante $h$, définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $h(x)=1$, est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\qst En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\qst Vérifier que la fonction $F$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $F(x) = 1-\e^{-0,2x^{2}}$ est la solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $F(0)=0$.

\bigskip
\numqst1
\textit{B. Etude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = 0,4x\e^{-0,2x^{2}}$.

On désigne par $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$, les unités graphiques étant de 2 cm sur l'axe des abscisses et de 10 cm sur l'axe des ordonnées.

\qst On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = 0$. 
Que peut-on en déduire pour la courbe $C$ ?

\qstssq Démontrer que, pour tout $x$ de $[0\,;\,+\infty[$,
$f^{\prime}(x) =0,4(1-\sqrt{0,4}~x)(1+\sqrt{0,4}~x) \e^{-0,2x^{2}}$.

\ssq En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

\ssq Donner le tableau de variation de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$.\\
On y fera figurer la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ du maximum de la fonction $f.$

\qst Un logiciel de calcul formel fournit pour $f$ le développement limité
suivant, à l'ordre 3, au voisinage de 0 : $f(x) = 0,4x-0,08 x^{3}+x^{3}\varepsilon(x)$ 
avec $\lim\limits_{x \to 0} \varepsilon(x)=0$.\\
\textbf{Ce résultat est admis et n'est donc pas à démontrer.}\\
En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0, et la position
relative de $T$ et de $C$ au voisinage de ce point.

\qst Tracer sur la copie la tangente $T$ et la courbe $C$ dans le repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ défini au début de la partie \textit{B.}


\intit{4}
\newpage


\numqst1
\textit{C. Application à un problème de probabilité}

\medskip
\textit{Une étude statistique, fondée sur un historique des crues d'un fleuve, permet de faire des prévisions sur sa hauteur maximale annuelle, en mètres.}

\medskip
On note $X$ la variable aléatoire qui, à une année prise au hasard dans une longue période, associe la hauteur maximale du fleuve en mètres.

Soit $x$ un réel positif. La probabilité qu'une année donnée la hauteur maximale du fleuve soit inférieure à $x$ mètres est $P(X \leq x)=\int_{0}^{x}f(t)~\mathrm{d}t$ où $f$ est la fonction définie dans la partie \textit{B.}

On admet que $\int_{0}^{x}f(t)~\mathrm{d}t=1-\e^{-0,2x^{2}}$.

\qst Les digues actuelles ne protègent l'agglomération que lorsque la hauteur est inférieure à 4~mètres.\\
Calculer la probabilité $P(X \leq 4)$ qu'une année donnée, l'agglomération soit protégée de la crue ; arrondir le résultat à $10^{-2}$.

\qst Afin de réaliser des travaux pour améliorer la protection de l'agglomération, on cherche la hauteur $x_{0}$, en mètres, telle que $P(X \leq x_{0}) = 0,99$.

\ssq Montrer que $x_{0}$ est solution de l'équation : $\e^{-0,2x^{2}} = 0,01$.

\ssq Déterminer la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $x_{0}$.

\ssq On considère l'affirmation suivante :\\
\og En surélevant les digues actuelles d'un mètre, la probabilité qu'une année prise au hasard,
l'agglomération soit protégée est supérieure à 0,99 \fg.\\
Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication).

\intit{5}

\end{document}