\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{tabularx}
\begin{document}


\newcommand{\intit}[1]{%
\vfill\centerline{%
\begin{tabularx}{18cm}{|p{12.4cm}|>{\centering}p{4.7cm}|}\hline
GROUPEMENT B DES BTS
&
SESSION 2005
\cr
\hline
Mathématiques
&
MATGRB1
\cr
\hline
Durée : 2 heures
&
Page : #1 / 6
\cr
\hline
\end{tabularx}}
\newpage}


\begin{center}

\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR}

\textbf{Session 2005}

\textbf{\'Epreuve de mathématiques}

\textbf{GROUPEMENT B}
\hfil
\textbf{\textit{CODE : MATGRB}}
\hfil

\textbf{Durée : 2 heures}

\medskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{11.4cm}|c|}\hline
\centering\textbf{SPECIALITÉS}			&	\textbf{COEFFICIENT}	\\\hline
Aménagement finition				&	2	\\\hline
Assistance technique d'ingénieur		&	2	\\\hline
Bâtiment					&	2	\\\hline
Conception et réalisation de carrosseries	&	2	\\\hline
Construction navale				&	2	\\\hline
Constructions métalliques			&	2,5	\\\hline
Domotique					&	2	\\\hline
Enveloppe du bâtiment : façades - étanchéité 	&	2	\\\hline
\'Etude et économie de la construction		&	2	\\\hline
Fluides - énergies - environnements 		&	2	\\\hline
Géologie appliquée				&	1,5	\\\hline
Maintenance et après-vente automobile 		&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente des engins de travaux&	1	\\
publics et de manutention			&		\\\hline
Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques&	1	\\\hline
Maintenance industrielle			&	2	\\\hline
Mécanique et automatismes industriels		&	2	\\\hline
Moteurs à combustion interne			&	2	\\\hline
Productique mécanique				&	2	\\\hline
Traitement des matériaux			&	3	\\\hline
Travaux publics					&	2	\\\hline

\end{tabularx}

\smallskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{15.15cm}|}\hline
\small
Les calculatrices de poches sont autorisées conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999. La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\intit{1}

\newpage


\exer{11 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\smallskip
\textit{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
On considère l'équation différentielle $(E)$ :

\[
(1+x)y' + y = \dfrac{1}{1+x} \quad ,
\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur \intoo{-1}{+\infty} et $y'$ sa fonction dérivée.

\qst Démontrer que les solutions sur \intoo{-1}{+\infty} de l'équation différentielle ($E_0$) :
\[
(1+x)y' + y = 0
\]
sont les fonctions définies par $h(x) = \dfrac{k}{x+1}$, où $k$ est une constante réelle quelconque.

\qst Soit $g$ la fonction définie sur \intoo{-1}{+\infty} par 
$g(x) = \dfrac{\ln(1+x)}{1+x}$.
\\
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle ($E$).

\qst En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle ($E$).

\qst Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle ($E$) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 2$.

\bigskip
\numqst1
\parindent0cm
\textit{B. \'Etude d'une fonction}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur \intoo{-1}{+\infty} par $f(x) = \dfrac{2+\ln(1+x)}{1+x}$.
\\
Sa courbe représentative $C$, dans un repère orthonormal où l'unité graphique est 1 cm, est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psplot[plotpoints=200]{-0.9}{9.5}{1 x add ln 2 add 1 x add div}
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0pt](-2,-3)(10,4)
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\rput(1.3,1.7){$C$}
\rput(0.9,-0.3){1}
\rput(-0.3,1.2){1}
\end{pspicture*}
\end{center}








\intit{2}

\qst On admet que $\lim\limits_{x\to-1} f(x) = -\infty$ et que $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0$.
\\
Que peut-on en déduire pour la courbe $C$ ?

\qstssq Démontrer que, pour tout $x$ de \intoo{-1}{+\infty},
$f'(x) = \dfrac{-1-\ln(1+x)}{(1+x)^2}$.

\ssq Résoudre dans \intoo{-1}{+\infty} l'inéquation $-1 - \ln (1 + x) \ge 0$.
\\
En déduire le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans \intoo{-1}{+\infty}.

\ssq \'Etablir le tableau de variation de $f$.

\qst Un logiciel de calcul formel donne le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ :
\[
f (x) = 2-x + \dfrac{1}{2}\,x^2 + x^2 \varepsilon (x) \text{ avec } \lim\limits_{x\to0} \varepsilon (x) = 0.
\]
\textit{Ce résultat, admis, n'a pas à être démontré.}

\ssq En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0. 
\ssq \'Etudier la position relative de $C$ et $T$ au voisinage de leur point d'abscisse 0.

\bigskip
\numqst1
\textit{C. Calcul intégral}

\qst Déterminer la dérivée de la fonction $G$ définie sur \intoo{-1}{+\infty} par:
\[
G(x) = \dfrac{1}{2}[\ln(1+x)]^2.
\]

\qst En déduire qu'une primitive de $f$ sur \intoo{-1}{+\infty} est définie par:
\[
F(x) = 2 \ln(1 + x) + \dfrac{1}{2}\,[\ln(1+x)]^2.
\]

\qstssq On note $I = \int_{0}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x$.
Démontrer que $I = \dfrac{1}{2}(\ln3)^2 + 2 \ln3$.
\ssq Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $I$.
\ssq Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au b).

\intit{3}



\exer{9 points}

\begin{center}
\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la construction. Leur diamètre est exprimé en millimètres.

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés
\\
sont à arrondir à $\boldsymbol{10^{-2}}$.}
\end{center}

\textit{A. Loi normale}

Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l'intervalle [89,6 ; 90,4].

\qst On note $X_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre. On suppose que la variable aléatoire $X_{1}$ suit la loi normale de moyenne 90 et d'écart type $\sigma = 0,17$.
\\
Calculer la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme.

\qst L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles : il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les rondelles.
\\
On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée dans la production future, associera son diamètre. On suppose que la variable aléatoire $D$ suit une loi normale de moyenne 90 et d'écart type $\sigma_{1}$.
\\
Déterminer $\sigma_{1}$ pour que la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0,99.

\intit{4}


\numqst1
\parindent0cm
\textit{B. Loi binomiale}

\medskip
On note $E$ l'événement : \og une rondelle prélevée au hasard dans un stock important a un diamètre défectueux \fg.
On suppose que $P(E) = 0,02$.

On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour vérification de leur diamètre. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre rondelles.

On considère la variable aléatoire $Y_{1}$ qui à tout prélèvement de quatre rondelles associe le nombre de rondelles de ce prélèvement ayant un diamètre défectueux.

\qst Justifier que la variable aléatoire $Y_{1}$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

\qst Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune rondelle n'ait un diamètre défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.

\qst Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une rondelle ait un diamètre défectueux. Arrondir à $10 ^{-3}$.

\bigskip

\numqst1
\parindent0cm
\textit{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip
Les rondelles sont commercialisées par lots de 1000.\\
On prélève au hasard un lot de 1000 dans un dépôt de l'usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1000 rondelles.\\
On considère la variable aléatoire $Y_{2}$ qui, à tout prélèvement de 1000 rondelles, associe le nombre de rondelles non conformes parmi ces 1000 rondelles.\\
On admet que la variable aléatoire $Y_{2}$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 1000$ et $p = 0,02$.
\\
On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y_{2}$ par la loi normale de moyenne 20 et d'écart type 4,43.
\\
On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 20 et d'écart type 4,43.

\qst Justifier les paramètres de cette loi normale.

\qst Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 15 rondelles non conformes dans le lot de 1000 rondelles, c'est à dire calculer $P(Z \le 15,5)$.


\intit{5}

\bigskip
\numqst1
\parindent0cm
\textit{D. Test d'hypothèse}

\medskip
On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres, en millimètres, de rondelles constituant une grosse livraison à effectuer.
\\
On note $X_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la livraison, associe son diamètre.
\\
La variable aléatoire $X_{2}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma = 0,17$.
\\
On désigne par $\overline{X_{2}}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 rondelles prélevé dans la livraison, associe la moyenne des diamètres de ces rondelles (la livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).
\\[1ex]
L'hypothèse nulle est $H_{0} : \mu = 90$. Dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre.
\\
L'hypothèse alternative est $H_{1} : \mu \neq 90$. Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.

\qst \'Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test en admettant, sous l'hypothèse nulle~$H_{0}$, le résultat suivant qui n'a pas à être démontré :
\[
P (89,967 \le \overline{X_{2}} \le 90,033) = 0,95.
\]

\qst On prélève un échantillon de 100 rondelles dans la livraison et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est $\bar{x} = 90,02$.
\\
Peut-on, au seuil de risque de 5 \%, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ?


\intit{5}


\end{document}
