\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{tabularx}
\begin{document}

\newcommand{\intit}[1]{%
\vfill\centerline{%
\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{11.4cm}|p{4.7cm}|}\hline
GROUPEMENT B DES BTS
&
\centering SESSION 2006
\cr
\hline
Mathématiques
&
\centering MATGRB1
\cr
\hline
Durée : 2 heures
&
\centering Page : #1 / 5
\cr
\hline
\end{tabularx}}
\newpage}


\begin{center}

\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR}

\medskip
\textbf{Session 2006}

\medskip
\textbf{\'Epreuve de mathématiques}

\medskip
\textbf{GROUPEMENT B}
\hfil
\textbf{\textit{CODE : MATGRB1}}
\hfil

\medskip
\textbf{Durée : 2 heures}

\bigskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{11.4cm}|c|}\hline
\centering\textbf{SPECIALITÉS}			&	\textbf{COEFFICIENT}	\\\hline
Aménagement finition				&	2	\\\hline
Assistance technique d'ingénieur		&	2	\\\hline
Bâtiment					&	2	\\\hline
Conception et réalisation de carrosseries	&	2	\\\hline
Construction navale				&	2	\\\hline
Constructions métalliques			&	2,5	\\\hline
Domotique					&	2	\\\hline
Enveloppe du bâtiment : façades - étanchéité 	&	2	\\\hline
\'Etude et économie de la construction		&	2	\\\hline
Fluides - énergies - environnements 		&	2	\\\hline
Géologie appliquée				&	1,5	\\\hline
Maintenance et après-vente automobile 		&	2	\\\hline
Maintenance et après-vente des engins de travaux&	1	\\
publics et de manutention			&		\\\hline
Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques&	1	\\\hline
Maintenance industrielle			&	2	\\\hline
Mécanique et automatismes industriels		&	2	\\\hline
Moteurs à combustion interne			&	2	\\\hline
Productique mécanique				&	2	\\\hline
Traitement des matériaux			&	3	\\\hline
Travaux publics					&	2	\\\hline

\end{tabularx}

\bigskip
\begin{tabularx}{15.6cm}{|p{15.15cm}|}\hline
\small
Les calculatrices de poches sont autorisées conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999. La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\intit{1}

\newpage


\exer{11 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip
\textit{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
On considère l'équation différentielle $(E)$ :
$ y " - 3 y ' - 4 y = - 5 \ e ^ { - x } $
\\
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur \R, $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\qst Déterminer les solutions sur \R de l'équation différentielle $(E_0)$ : $y''-3y'-4y=0$.

\qst Soit $h$ la fonction définie sur \R par $h(x)=x\e^{-x}$.\\
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\qst En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\qst Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0)=2$ et $f'(0)=-1$.


\vskip 1cm
\textit{B. Étude locale d'une fonction}
\numqst1

La courbe $C$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal \ron, de la fonction $f$ définie sur \R par $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-4.1)(4.1,4.1)
\psaxes{->}(0,0)(-4.1,-4.1)(4.1,4.1)
\courbedefonction[plotpoints=200]{-2.5}{4}{(x+2)*2.718^(-x)}
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0pt](-4,-4)(4,4)
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\rput(3.8,-0.4){$x$}
\rput(-0.3,3.8){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\intit{2}

\qst Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est
\[
f(x) = 2-x+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x) \text{ avec } \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.
\]

\qst Déduire du 1° une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0.

\qst Étudier la position relative de $C$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse 0.


\vskip 1cm
\textit{C. Calcul intégral}
\numqst1

\smallskip
On note $I=\int_{0}^{0,6}f(x)\,\mathrm{d}x$.

\qst À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I=3-3,6\e^{-0,6}$.

\qst Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I$.

\qst Donner une interprétation graphique du nombre $I$.



\intit{3}

\exer{9 points}

Une entreprise fabrique des chaudières de deux types :

\qquad -- des chaudières dites \og à cheminée \fg,

\qquad -- des chaudières dites \og à ventouse \fg.

\begin{center}
\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\smallskip
\textit{A. Ajustement affine}

Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau
suivant :


\begin{center}
% use packages: array
\begin{tabular}{|p{7.5cm}|c|c|c|c|c|c|}\hline
Rang de l'année : $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline
Nombre de chaudières fabriquées par milliers : $y_i$ & 15,35 & 15,81 & 16,44 & 16,75 & 17,19 & 17,30
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\qst À l'aide d'une calculatrice, déterminer:
\ssq le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables $x$ et $y$;
arrondir à $10^{-2}$ ;
\ssq déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y=ax+b$,
où $a$ sera arrondi à $10^{-3}$ et $b$ sera arrondi à l'unité.

\qst En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le
nombre de chaudières qui seront fabriquées l'année de rang 7.

\vskip 1cm
\textit{B. Probabilités conditionnelles}
\numqst1

L'entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse.

Dans ce lot, 1 \% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5 \% des chaudières à ventouse sont défectueuses.

On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont
la même probabilité d'être prélevées.

On considère les événements suivants :

\qquad $A$ : \og La chaudière est à cheminée \fg ;

\qquad$ B$ : \og La chaudière est à ventouse \fg ;

\qquad $D$ : \og La chaudière présente un défaut \fg.

\qst Déterminer $P(A)$, $P(B)$, $P(D/A)$ et $P(D/B)$.

\qst Calculer $P(D\cap A)$ et $P(D\cap B)$.

\qst En remarquant que $D = (D\cap A)\cup(D\cap B)$ et que les événements $D\cap A$ et $D\cap B$ sont incompatibles, calculer $P(D)$ et $P(\bar{D})$.


\intit{4}

\medskip
\textit{C. Loi normale}
\numqst1

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la
production, associe sa durée de fonctionnement en années.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 15 et d'écart type 3.

Une chaudière est dite \og amortie \fg si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans.

\smallskip
Calculer la probabilité qu'une chaudière prélevée au hasard dans la production soit
\og amortie \fg ; arrondir à $10^{-3}$.

\vskip 1cm
\textit{D. Intervalle de confiance}
\numqst1

On considère un échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard dans un stock important.

Ce stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que 94 chaudières sont sans aucun défaut.

\qst Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des chaudières de ce stock qui sont sans aucun défaut.

\qst Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard et avec remise dans ce stock, associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans aucun défaut.
\\
On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{100}}$, où $p$ est la fréquence inconnue des chaudières du stock qui sont sans aucun défaut.
\\
Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance
95~\%. Arrondir les bornes à $10^{-2}$.

\qst On considère l'affirmation suivante : \og la fréquence $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 2° \fg.
\\
Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification.)

\intit{5}

\end{document}