\documentclass[12pt,annales]{profmath}

\begin{document}

\begin{exercice}[12 points]

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\partieexo[Résolution d'une équation différentielle]

On considère l'équation différentielle 
$(\mbox{E}) : y ' - 2 y = x\e^{x}$
\newline
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur \R, et $y'$ la fonction 
dérivée de $y$.

\qst Déterminer les solutions définies sur \R de l'équation différentielle $(\mbox{E}_0)$ :
\[y' - 2y = 0.\]

\qst Soit $g$ la fonction définie sur \R par $g(x) = (- x - 1) \e^{x}$.
\newline
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle~$(E)$.
\qst En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\qst Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0)=0$.

\partieexo[Étude locale d'une fonction]

Soit $f$ la fonction définie sur \R par $f (x) = \e^{2x} - (x + 1) \e^{x}$. Sa courbe représentative $C$ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-5,-0.5)(2.3,5)
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-0.5)(2.3,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,griddots=5,subgriddiv=0](0,0)(-5,-0.5)(2.3,5)
\psplot[algebraic]{-5}{2}{2.718^(2*x) - (x + 1)*2.718^x}
\uput[-135](0,0){$O$}
\uput[0](1,2){$C$}
\uput[-90](1,0){1}
\uput[180](0,1){1}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vfill

\begin{small}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{10cm}|c|}
\hline
GROUPEMENT B DES BTS  & SESSION 2008 \\ 
\hline
Mathématiques & MATGRB 1 \\\hline
Durée : 2 heures & Page : 2/5
\\\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\end{small}

\newpage

\qstssq Démontrer que pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x) = \e^{x} (2\e^{x} - 2 - x)$.
\ssq En déduire le coefficient directeur $f^{\prime}(0)$ de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse 0.
\newline
Interpréter graphiquement ce résultat.
\qstssq Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction
$x\mapsto \e^{2x}$.

\ssq Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction~$f$ est : $f (x) = \dfrac{x^2}{2} + x^2 \varepsilon(x)$ avec $\lim\limits_{x\to 0}  \varepsilon(x) = 0$.

\medskip
\partieexo[Calcul intégral]

\qst On note $I = \int_{-0,3}^{0,3} \dfrac{x^2}{2} \mathrm{d}x$.
\\[1ex]
Démontrer que $I = 0,009$.

\qst On note $J = \int_{-0,3}^{0,3} \e^{2x} \mathrm{d}x$.
\\[1ex]
Démontrer que $J = 0,5 \left( \e^{0,6} - \e^{-0,6} \right)$.

\qst On note $K = \int_{-0,3}^{0,3} (x+1)\e^{x} \mathrm{d}x$.
\\[1ex]
Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que 
$K= 0,3 \left( \e^{0,3} + \e^{-0,3} \right)$.

\qst On note $L = \int_{-0,3}^{0,3} f(x) \mathrm{d}x$.
\ssq Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $L$.
\ssq Donner la valeur approchée de $L$ arrondie à $10^{-5}$.

\ssq Vérifier que la valeur exacte de $I$ et la valeur approchée de $L$ obtenue à la question précédente différent de $4,5 \times 10^{-4}$.

\end{exercice}


\vfill

\begin{small}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{10cm}|c|}
\hline
GROUPEMENT B DES BTS  & SESSION 2008 \\ 
\hline
Mathématiques & MATGRB 1 \\ \hline
Durée : 2 heures & Page : 3/5
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{small}

\newpage

\begin{exercice}[8 points]
\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

Une entreprise fabrique en grande série des pièces en bois. Ces pièces sont prévues pour 
s'encastrer les unes dans les autres.

\begin{center}
\psset{unit=8mm}
\begin{pspicture*}(-2,-0.5)(9,5)
\psline(0,0)(0,1)(1.2,1)(1.2,4)(0,4)(0,5)(6,5)(6,4)(7.2,4)(7.2,1)(6,1)(6,0)(0,0)
%\psgrid(0,0)(-5,-0.5)(2.3,5)
\psline{<->}(-0.8,1)(-0.8,4)
\psline{<->}(8,1)(8,4)
\uput[0](8,2.5){$x$}
\uput[180](-0.8,2.5){$y$}
\end{pspicture*}

\medskip
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à $\boldsymbol{10^{-3}}$.}
 
\end{center}


\partieexo[Loi normale]

Une pièce de ce type est conforme lorsque sa cote $x$, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle \intff{9,5}{10,5} et lorsque sa cote $y$ appartient à l'intervalle \intff{10,5}{11,5}.

\qst On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa cote $x$. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart type 0,21.
\newline
Calculer $P(9,5  \le X \le 10,5)$.
\qst On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe sa cote $y$.
\newline
On admet que $P(10,5 \le Y \le 11,5) = 0,985$.
\newline
On suppose que les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes.
\newline
On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Déterminer la probabilité qu'elle soit conforme.

\vfill


\begin{small}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{10cm}|c|}
\hline
GROUPEMENT B DES BTS  & SESSION 2008 \\ 
\hline
Mathématiques & MATGRB 1 \\ \hline
Durée : 2 heures & Page : 4/5
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{small}

\newpage

\partieexo[Loi binomiale et loi de Poisson]

On considère un stock important de pièces.\newline
On note $E$ l'événement : \og une pièce prélevée au hasard dans le stock de pièces est 
défectueuse \fg.\newline
On suppose que $P(E) = 0,03$.\newline
On prélève au hasard 50 pièces dans le stock de pièces pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 pièces.\newline
On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses.

\qst Justifier que la variable aléatoire $Z$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\qst Calculer $P(Z = 0)$ et $P(Z \le 2)$.
\qst On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Z$ peut être approchée par une loi de Poisson.
\ssq Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
\ssq On désigne par $Z_{1}$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au a).
\newline
En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 50 pièces, au plus deux pièces soient défectueuses.


\partieexo[Intervalle de confiance]

Dans cette partie on considère une grande quantité de pièces devant être livrées à une chaîne d'hypermarchés. On considère un échantillon de 100 pièces prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
\newline
On constate que 96 pièces sont sans aucun défaut.

\qst Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des pièces de cette livraison qui sont sans aucun défaut.
\qst Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 pièces prélevées au hasard et avec remise dans cette livraison, associe la fréquence des pièces de cet échantillon qui sont sans aucun défaut.
On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type 
$\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{100}}$, où $p$ est la fréquence inconnue des pièces de la livraison qui sont sans aucun défaut.
\newline
Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance 95~\%.

\end{exercice}


\vfill

\begin{small}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{10cm}|c|}
\hline
GROUPEMENT B DES BTS  & SESSION 2008 \\ 
\hline
Mathématiques & MATGRB 1 \\ \hline
Durée : 2 heures & Page : 5/5
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{small}


\end{document}