\documentclass[12pt,a4paper]{annales}
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\textbf{SESSION 2001}\hfill \textbf{MATGRC}

\begin{center}
\begin{Large}
\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR}\\
\textbf{\'Epreuve de Mathématiques}\\[1ex]
\textbf{GROUPEMENT C}
\end{Large}

\textit{Durée : 2 heures}

\begin{tabular}{|l|c|}
\hline \hfil\textbf{SP\'ECIALIT\'ES} & \textbf{COEFFICIENT} \\
\hline Agroéquipement & 1 \\ 
\hline Charpente et couverture & 1,5 \\ 
\hline \'Etude et réalisation d'outillage de mise en forme des matériaux & 2 \\ 
\hline Industries céramiques & 2 \\ 
\hline Industries céréalières & 2 \\ 
\hline Industrie des matériaux souples (2 options) & 1 \\ 
\hline Industries papetières & 2 \\ 
\hline Mise en forme des alliages moulés & 2 \\ 
\hline Mise en forme des matériaux par forgeage & 2 \\ 
\hline Productique bois et ameublement & 1,5 \\ 
\hline Productique textile (4 options) & 3 \\ 
\hline Réalisation d'ouvrages chaudronnés & 2 \\ 
\hline Systèmes constructifs bois et habitat & 1,5 \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\begin{large}\textsl{Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.\\
Ce sujet comporte 2 pages numérotées 1/2 et 2/2.\\
Plus le formulaire de mathématiques page 1 à 5.}
\end{large}

\textsl{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans 
l'appréciation des copies.}
\end{center} 

\bigskip
\centerline{\textbf{\begin{large}CALCULATRICE AUTORIS\'EE\end{large}}}

\textit{Sont autorisées toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimantes.\\[2ex]
Le candidat n'utilise qu'une seule machine sur la table. Toutefois, si celle-ci vient à connaître une défaillance, il peut la remplacer par une autre.\\
Afin de prévenir les risques de fraude, sont interdits les échanges de machines entre les candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que les échanges d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices.}


\newpage
\exo{11}

\textbf{A -- \'Equation différentielle.}\\
On considère l'équation différentielle (E) suivante, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle~$x$, définie et dérivable sur l'intervalle $]\,0\,;\,+\infty\,[$ et où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien :
$${\rm (E)}\quad xy'-y=\ln x.$$
\qst Résoudre sur $]\,0\,;\,+\infty\,[$ l'équation différentielle : $xy'-y=0$.
\qst Vérifier que la fonction $h$, définie pour tout $x$ réel appartenant à $]\,0\,;\,+\infty\,[$ par \mbox{$h(x)=-\ln x-1$} est une solution particulière de (E).\\
En déduire l'ensemble des solutions de (E).
\qst Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f(1)=1$.


\numqst0
\textbf{B -- \'Etude d'une fonction.}\\
Soit la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]\,0\,;\,+\infty\,[$ par $f(x)=2x-1-\ln x$.
\qst Déterminer la limite de $f$ en 0 et montrer que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.
\qst Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$. En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $]\,0\,;\,+\infty\,[$.


\numqst0
\textbf{C -- Représentation graphique ; calcul d'aire.}\\
On note $\cal C$ la courbe d'équation $y=f(x)$ dans un repère orthonormal $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath)$ du plan.
\qst \'Etudier la position de $\cal C$ par rapport à la droite $\cal D$ d'équation : $y=2x-1$.
\qst Tracer la partie de la courbe $\cal C$ pour $0<x\le3$ ainsi que la droite $\cal D$.\\
(unité graphique : 4 cm).
\qstssq Vérifier que la fonction $H\,:\,x\,\mapsto\,x\ln x-x$ est une primitive sur l'intervalle $]\,0\,;\,+\infty\,[$ de la fonction $x\,\mapsto\,\ln x$.
\ssq Représenter sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\cal C$, la droite $\cal D$ et les droites $\Delta$ et $\Delta'$ d'équations respectives : $x=\dfrac12$ et $x=1$.
\ssq Calculer, en cm$^2$, l'aire de ce domaine. (On en donnera une valeur décimale approchée par excès à $10^{-2}$ près.

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\hfill \textbf{1/2}

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\exo{9}
Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes. On donnera les résultats arrondis à $10^{-3}$ près.\\
Une usine fabrique des billes métalliques. L'étude porte sur le diamètre de ces billes, mesuré en millimètres.

\textbf{A - \'Etude de la production.}
\qst On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bille prise au hasard dans la production de l'usine, associe son diamètre mesuré en millimètres.\\
On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne 25 et d'écart type 0,44.\\
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :\\
\qquad E$_1$ : "Le diamètre de la bille est inférieur à 25,2".\\
\qquad E$_2$ : "Le diamètre de la bille est compris entre 24,1 et 25,9".
\qst Certaines billes sont défectueuses. On admet que la probabilité de tirer au hasard une bille défectueuse est 0,04.\\
Les billes sont conditionnées par paquets de 150. On admet que le choix d'un paquet peut être assimilé à un tirage avec remise de 150 billes.\\
On note $Y$ la variable aléatoire qui associe à tout paquet choisi au hasard le nombre de billes défectueuses du paquet.
\ssq Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\ssq On admet que la loi de $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Calculer la valeur de $\lambda$ et déterminer la probabilité de l'événement E$_3$ : "Il y a au plus 4 billes défectueuses dans le paquet".

\numqst0
\textbf{B - Commande d'un client.}\\
Un client réceptionne une commande. Il prélève un échantillon de 125 billes choisies au hasard et avec remise dans le lot reçu et constate que le diamètre moyen est égal à 25,1.\\
On rappelle que pour les billes fabriquées par l'entreprise, la variable aléatoire $X$ qui prend pour valeurs leurs diamètres suit une loi normale d'écart type 0,44.\\
L'entreprise s'est engagée à ce que la moyenne des diamètres des billes fournies soit de 25.\\
Le client déceide de construire un test bilatéral permettant de vérifier l'hypothèse selon laquelle le diamètre des billes du lot reçu est de 25.
\qst Quelle est l'hypothèse nulle H$_0$ ? Quelle est l'hypothèse alternative H$_1$ ?
\qst On désigne par $\bar{X}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 125 billes, prises au hasard et avec remise, associe la moyenne des diamètres obtenus.
\ssq Donner sous l'hypothèse nulle la loi de $\bar{X}$. En préciser les paramètres.
\ssq Déterminer le nombre $a$ tel que $p(25-a<\bar{X}<25+a)=0,95$.
\ssq \'Enoncer la règle de décision du test.
\qst Au vu de l'échantillon, au risque de 5 \%, que peut conclure le client sur le respect de l'engagement de l'entreprise ?

\hfill \textbf{2/2}

\end{document}