\documentclass[12pt]{annales}
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\textbf{SESSION 2003}\hfill \textbf{MATGRC}

\begin{center}
\begin{Large}
\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR}\\
\textbf{\'Epreuve de Mathématiques}\\[1ex]
\textbf{GROUPEMENT C}
\end{Large}

\vskip -2mm
\textbf{\textsl{Durée : 2 heures}}

\medskip
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline \hfil\textbf{SP\'ECIALIT\'ES} & \textbf{COEFFICIENT} \\
\hline Agroéquipement & 1 \\ 
\hline Charpente couverture & 1,5 \\ 
\hline \'Etude et réalisation d'outillage de mise en forme des matériaux & 2 \\ 
\hline Industries céramiques & 2 \\ 
\hline Industries céréalières & 2 \\ 
\hline Industrie des matériaux souples (2 options) & 1 \\ 
\hline Industries papetières & 2 \\ 
\hline Mise en forme des alliages moulés & 2 \\ 
\hline Mise en forme des matériaux par forgeage & 2 \\ 
\hline Productique bois et ameublement & 1,5 \\ 
\hline Productique textile (4 options) & 3 \\ 
\hline Réalisation d'ouvrages chaudronnés & 2 \\ 
\hline Systèmes constructifs bois et habitat & 1,5 \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\begin{large}\textsl{Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.\\
Ce sujet comporte 2 pages numérotées 1/2 et 2/2.\\
Plus le formulaire de mathématiques page 1 à 5.}
\end{large}

\textsl{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans 
l'appréciation des copies.}
\end{center} 

\bigskip
\centerline{\textbf{\begin{large}CALCULATRICE AUTORIS\'EE\end{large}}}

\textit{Sont autorisées toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimantes.\\
Le candidat n'utilise qu'une seule machine sur la table. Toutefois, si celle-ci vient à connaître une défaillance, il peut la remplacer par une autre.\\
Afin de prévenir les risques de fraude, sont interdits les échanges de machines entre les candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que les échanges d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices.}


\newpage\parskip 2mm
\exo{10}
Une usine de montage utilise des roulements provenant de deux entreprises de mécanique, l'une située à Reims, l'autre à Nancy. Son stock de roulements provient à 40 \% de l'entreprise de Reims dont 4,5 \% de la production est inutilisable. Le reste provient de l'entreprise de Nancy qui fournit 2 \% de roulements inutilisables.

Les parties A et B sont indépendantes.

\textbf{Partie A}
\qst On prélève au hasard un roulement dans le stock.
\ssq Déterminer la probabilité qu'il soit utilisable, sachant qu'il provient de Reims.
\ssq Déterminer la probabilité qu'il soit utilisable, sachant qu'il provient de Nancy.
\ssq En déduire que la probabilité qu'il soit utilisable est de 0,97.

\qst On prélève dans le stock, successivement et au hasard, dix roulements. 
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de ceux qui sont utilisables. On assimilera ce tirage à un tirage avec remise.
\ssq Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Préciser les paramètres.
\ssq Déterminer, au centième près par excès, la probabilité que sur ces dix roulements, neuf au moins soient utilisables.

\qst On prélève dans le stock 100 roulements, successivement et au hasard. 
On note $Y$ le nombre de ceux qui sont inutilisables. On assimilera ce tirage à un tirage avec remise.
Ainsi, $Y$ suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,03 ; on approche cette loi par une loi de Poisson.
\ssq Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson.
\ssq Déterminer la probabilité que moins de deux roulements soient inutilisables. On donnera un résultat arrondi au centième.

\numqst0
\textbf{Partie B}\\
On étudie dans cette partie le diamètre des roulements.\\
On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque roulement, associe son diamètre en millimètres.\\
On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne 23,65 et d'écart type 0,02.
\qst On choisit au hasard un roulement. Quelle est la probabilité que son diamètre appartienne à l'intervalle 
$[23,61\,;\,23,70]$ ?
\qst Soit $h$ un nombre réel. Déterminer $h$ tel que $P(23,65-h<D<23,65+h)=0,90$.\\
On donnera un résultat arrondi au millième.
\qst En déduire un intervalle I tel que les diamètres des roulements de la production aient la probabilité 0,90 de lui appartenir.

\hfill \textbf{1/2}

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\exo{10}
Les trois parties de l'exercice sont indépendantes.\\
Un mobile est propulsé à très grande vitesse sur un axe, puis il est ralenti. On s'intéresse à la vitesse de ce mobile durant le freinage. Dans tout l'exercice, les distances sont exprimées en mètres, les temps en secondes et donc les vitesses en mètres par seconde.

\textbf{Partie A.}\\
Les résultats seront arrondis au dixième.\\
On a relevé les vitesses instantanées $v_i$ de ce mobile aux instants $t_i$, pour $i$ variant de 0 à 7.

\medskip
\centerline{\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$t_i$ en s&~0~&~1~&~2~&~3~&~4~&~5~&~6~&~7~\\\hline
$v_i$ en m.s$^{-1}$&215&140&85&57&36&29&27&22\\\hline
\end{tabular}}

\qst Dessiner le nuage de points de cette série statistique et expliquer pourquoi on n'envisagera pas un ajustement affine de ce nuage.
\qst On pose $n_i=\ln(v_i-15)$ pour $i$ variant de 0 à 7. Dresser le tableau de la série $(t_i\,,\,n_i)$.
\qst Donner une équation de la droite de régression de $n$ en $t$ par la méthode des moindres carrés.
\qst En déduire une expression de la vitesse $v$ en fonction du temps $t$ sous la forme 
$v=\alpha{\rm e}^{\beta t}+\gamma$, où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont des réels à déterminer.

\numqst0
\bigskip
\textbf{Partie B.}\\
Une modélisation mathématique permet d'écrire que la vitesse $v$, qui est une fonction positive du temps $t$, est solution de l'équation différentielle (E) : $2y'+y=15$, où $y$ est une fonction dérivable de la variable $t$.
\qst Résoudre l'équation $2y'+y=0$.
\qst Rechercher une fonction constante solution particulière de (E).
\qst En déduire la solution générale de l'équation (E).
\qst Déterminer la fonction $v$, solution de (E), qui vérifie $v(0)=215$.

\numqst0
\bigskip
\textbf{Partie C.}\\
On admet que la vitesse du mobile est donnée par la fonction $v$, définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par 
$v(t)=200{\rm e}^{-\frac{1}{2}t}+15$.
\qst \'Etudier les variations de $v$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
\qst Montrer que ce système de freinage ne permet pas, en théorie, au mobile de s'arrêter.
\qst Sachant que la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_1$ et $t_2$ est 
$\int_{t_1}^{t_2}v(t){\rm d}t$, calculer la valeur exacte de la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_1=0$ et $t_2=10$, puis en donner une valeur arrondie au dixième.

\hfill \textbf{2/2}

\end{document}
