\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\marges{1.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}
\begin{document}
\parskip 5mm
\textbf{SESSION 2004}\hfill \textbf{MATGRC}

\begin{center}
\begin{Large}
\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR}\\
\textbf{\'Epreuve de Mathématiques}\\[1ex]
\textbf{GROUPEMENT C}
\end{Large}

\vskip -2mm
\textbf{\textsl{Durée : 2 heures}}

\medskip
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline \hfil\textbf{SP\'ECIALIT\'ES} & \textbf{COEFFICIENT} \\
\hline Agroéquipement & 1 \\ 
\hline Charpente couverture & 1,5 \\ 
\hline \'Etude et réalisation d'outillage de mise en forme des matériaux & 2 \\ 
\hline Industries céramiques & 2 \\ 
\hline Industries céréalières & 2 \\ 
\hline Industrie des matériaux souples (2 options) & 1 \\ 
\hline Industries papetières & 2 \\ 
\hline Mise en forme des alliages moulés & 2 \\ 
\hline Mise en forme des matériaux par forgeage & 2 \\ 
\hline Productique bois et ameublement & 1,5 \\ 
\hline Productique textile (4 options) & 3 \\ 
\hline Réalisation d'ouvrages chaudronnés & 2 \\ 
\hline Systèmes constructifs bois et habitat & 1,5 \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\begin{large}\textsl{Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.\\
Ce sujet comporte 2 pages numérotées 1/3 et 3/3.\\
Plus le formulaire de mathématiques page 1 à 5.}
\end{large}

\textsl{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans 
l'appréciation des copies.}
\end{center} 

\bigskip
\centerline{\textbf{\begin{large}CALCULATRICE AUTORIS\'EE\end{large}}}

\textit{Sont autorisées toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimantes.\\
Le candidat n'utilise qu'une seule machine sur la table. Toutefois, si celle-ci vient à connaître une défaillance, il peut la remplacer par une autre.\\
Afin de prévenir les risques de fraude, sont interdits les échanges de machines entre les candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que les échanges d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices.}


\newpage\parskip 1mm

\exer{11 points}

Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique en grande série.

Le responsable de la qualité cherche à analyser la production. Il mesure pour cela le diamètre des boules d'un échantillon (E) de 50 pièces, et obtient les résultats suivants :

\begin{center}
% use packages: array
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Diamètre en mm & 72,6 & 72,7 & 72,8 & 72,9 & 73 & 73,1 & 73,2 & 73,3 & 73,4 \\ \hline
Nombre de boules & 3 & 5 & 7 & 8 & 10 & 9 & 4 & 3 & 1 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Une boule est dite conforme si son diamètre $d$, mesuré en millimètres, vérifie :
$72,7 \le d \le 73,3$.

\qstssq Quel est, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules non conformes ?
\ssq Déterminer la moyenne et l'écart-type de cet échantillon. Les résultats seront arrondis au centième.

\qst On admet dans cette question que la probabilité qu'une boule ne soit pas conforme est $p=0,12$.
\\
L'entreprise livre des lots de 50 boules à des clients. On assimile le choix de chaque boule d'un lot à un tirage au hasard et avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire mesurant le nombre de boules non conformes d'un lot.
\ssq Préciser et justifier la loi de probabilité suivie par $X$.
\ssq On approche la loi de probabilité de $X$ par une loi de Poisson.
\sssq Quel est le paramètre de cette loi ?
\sssq Déterminer la probabilité qu'il y ait plus de cinq boules non conformes dans un lot. La réponse sera arrondie au centième.


\qst L'étude statistique de la production permet d'admettre que la variable aléatoire $D$, qui mesure le diamètre d'une boule, suit une loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$. Les résultats seront arrondis au millième. On choisit au hasard une boule produite.
\ssq On suppose que $m=73$ et $\sigma=0,2$. Calculer la probabilité que la boule soit conforme, c'est-à-dire
$p(72,7 \le D \le 73,3)$.
\ssq Sachant que $m=73$, quelle valeur devrait prendre $\sigma$ pour que la probabilité d'obtenir une boule non conforme soit 0,1 ?

\qst La moyenne obtenue sur l'échantillon (E) amène à se poser la question :
\og Le diamètre moyen $m$ des boules fabriquées est-il strictement inférieur à 73 mm ? \fg.
\\
Pour cela, on construit un test d'hypothèse au risque de 5 \%.\par
\qquad\qquad L'hypothèse nulle $H_0$ est : \qquad $m=73$ ;
\par
\qquad\qquad L'hypothèse alternative $H_1$ est : \qquad $m<73$ ;

\decalqst
On admet que la variable aléatoire $\bar{D}$, qui mesure le diamètre moyen sur un échantillon de 50 boules prélevées au hasard et avec remise, suit une loi normale de moyenne 73 et d'écart-type~$\dfrac{0,2}{\sqrt{50}}$.

\ssq Calculer le nombre réel $a$ tel que $p(\bar{D} \ge 73-a)=0,95$.
\ssq \'Enoncer la règle de décision du test.
\ssq Au risque de 5 \% et au vu de l'échantillon (E), que peut-on conclure ?

\newpage

\exer{9 points}

\begin{minipage}{7cm}
On considère un système mécanique formé d'un plateau soutenu par un amortisseur. Il est représenté par le schéma ci-contre.\\
On note $z$ la cote du centre de gravité du plateau. On suppose que $z$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur un intervalle de \R, où $t$ représente le temps exprimé en seconde.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(9,4.5)
\psline[linestyle=dashed](6.3,0)
\psline[linestyle=dashed](0.5,3)(4,3)
\psline(0.6,0)(0.6,4.5)
\psline[linewidth=0.08]{->}(0.6,0)(0.6,0.8)
\psline[linewidth=0.08]{->}(6.85,1.7)(5.9,1.7)
\psline[linewidth=0.08]{->}(6.85,2.85)(6.1,2.85)
\psline(2.85,1.1)(2.85,0)(5.2,0)(5.2,1.1)
\psline(2.95,0.8)(2.95,1.9)
\psline(5.1,0.8)(5.1,1.9)
\psframe(2,2.7)(5.9,3.2)
\psframe[fillstyle=vlines](3.05,1.6)(5,2.7)
\psdot[dotstyle=x](4.05,3)
\rput(0.3,0.2){0}
\rput(0.3,1){1}
\rput(0.2,3){$z$}
\rput(4.4,3){G}
\rput[l](7.1,2.85){Plateau}
\rput[l](7.1,1.7){Amortisseur}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip
L'étude de ce système mécanique permet de considérer que la fonction $z$ est solution de l'équation différentielle (E) : $5z''+6z'+z = 2$.

\textbf{Partie A}

\qst Résoudre dans \R l'équation différentielle $5z''+6z'+z=0$.
\qst Chercher une solution particulière constante de l'équation (E) et en déduire la solution générale de (E).
\qst Donner la solution $g$ de (E) qui vérifie $g(0)=5$ et $g'(0)=-1$.


\numqst1
\textbf{Partie B}

On suppose pour la suite du problème que $z(t)=f(t)$, où $f$ est la fonction définie sur l'intervalle 
\intfo{0}{+\infty} par $f(t) = 0,5\e^{-t}+2,5\e^{-0,2t}+2$.

\qst \'Etudier les variations de $f$.
\qst Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
\qst Déduire des deux questions précédentes l'évolution de la cote du point $G$ en fonction du temps $t$.
\qst On note $\cal C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Justifier l'existence d'une asymptote à la courbe $\cal C$ quand $t$ tend vers $+\infty$ ; en donner une équation.
\\
Tracer cette asymptote sur le graphique de la feuille jointe en annexe.

\numqst1
\textbf{Partie C}

\qst Déterminer une primitive de la fonction $h$, définie pour tout $t$ de l'intervalle \intfo{0}{+\infty}, par 
$h(t)=0,5\e^{-t}+2,5\e^{-0,2t}$.

\qstssq Calculer $\int_{1}^{5}(f(t)-2) \, \mathrm{d}t$.
\ssq Interpréter géométriquement ce résultat sur la feuille annexe.

\vfill
\hfill
2/3

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\textbf{(à rendre avec la copie)}

\vskip 2cm

\begin{pspicture}(-1,-1)(14,6)
\psset{ticksize=-3pt 3pt}
\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-0.8,-0.8)(14,6)
\psline[linewidth=0.05]{<->}(1,0)(0,0)(0,1)
\psplot[algebraic=true]{0}{13.5}{0.5*2.718^(-x)+2.5*2.718^(-0.2*x)+2}
\rput(0.7,-0.3){$\boldsymbol{\vec\imath}$}
\rput(-0.3,0.7){$\boldsymbol{\vec\jmath}$}
\rput(14,-0.3){$t$}
\rput(-0.3,6){$y$}
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\rput(11,3){$\cal{C}$}
\end{pspicture}


\end{center}



\vfill
\hfill
3/3


\end{document}