\documentclass[12pt,annales]{profmath}
%\marges{1.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}
\begin{document}
\parskip 5mm
\textbf{SESSION 2005}\hfill \textbf{MATGRC}

\begin{center}
\begin{Large}
\textbf{BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR}\\
\textbf{\'Epreuve de Mathématiques}\\[1ex]
\textbf{GROUPEMENT C}
\end{Large}

\vskip -2mm
\textbf{\textsl{Durée : 2 heures}}

\medskip
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline \hfil\textbf{SP\'ECIALIT\'ES} & \textbf{COEFFICIENT} \\
\hline Agroéquipement & 1 \\ 
\hline Charpente couverture & 1,5 \\
\hline Communication et industrie graphique & 2 \\
\hline \'Etude et réalisation d'outillage de mise en forme des matériaux & 2 \\ 
\hline Industries céramiques & 2 \\ 
\hline Industries céréalières & 2 \\ 
\hline Industrie des matériaux souples (2 options) & 1 \\ 
\hline Industries papetières & 2 \\ 
\hline Mise en forme des alliages moulés & 2 \\ 
\hline Mise en forme des matériaux par forgeage & 2 \\ 
\hline Productique bois et ameublement & 1,5 \\ 
\hline Productique textile (4 options) & 3 \\ 
\hline Réalisation d'ouvrages chaudronnés & 2 \\ 
\hline Systèmes constructifs bois et habitat & 1,5 \\ 
\hline 
\end{tabular} 

\begin{large}\textsl{Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.\\
Ce sujet comporte 3 pages numérotées 1/3 et 3/3.\\
Plus le formulaire de mathématiques page 1 à 5.}
\end{large}

\textsl{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}
\end{center} 

\bigskip
\centerline{\textbf{\begin{large}CALCULATRICE AUTORIS\'EE\end{large}}}

\textit{Sont autorisées toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimantes.\\
Le candidat n'utilise qu'une seule machine sur la table. Toutefois, si celle-ci vient à connaître une défaillance, il peut la remplacer par une autre.\\
Afin de prévenir les risques de fraude, sont interdits les échanges de machines entre les candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que les échanges d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices.}


\newpage
\parskip 2mm


\exer{9 points}

\textbf{Partie A}

On considère l'équation différentielle (E) : $y'-2y = 4x$, où $y$ désigne une fonction de la variable~$x$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels \R et $y'$ sa dérivée.

\qst Soit l'équation différentielle (E') : $y'-2y = 0$.
\\
Résoudre l'équation différentielle (E').
\qst Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie pour tout $x$ réel par $g(x) = ax+b$ soit une solution particulière de l'équation (E).
\qstssq Résoudre l'équation différentielle (E).
\ssq Déterminer la fonction $f$, solution sur \R de l'équation différentielle (E) satisfaisant la condition : $f(0)=0$.


\numqst1
\textbf{Partie B}

Soit la fonction $f$, définie pour tout $x$ réel par $f(x) = \e^{2x}-2x-1$.

\qstssq Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\ssq Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra mettre $2x$ en facteur dans l'expression de $f(x)$).

\qst Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.
\\
En déduire les variations de la fonction $f$ sur \R et le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.


\numqst1
\textbf{Partie C}

On note $\cal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

\qst Montrer que la droite $\cal D$ d'équation $y=-2x-1$ est asymptote à la courbe $\cal C$ au voisinage de $-\infty$.
\qst Construire la courbe $\cal C$ et la droite $\cal D$.

\qst On considère l'aire $\cal A$ du domaine plan délimité par la courbe $\cal C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.\\
Calculer la valeur exacte de $\cal A$ en cm$^{2}$, puis en donner l'approximation décimale arrondie an centième.

\vfill
\hfill
1/3

\newpage

\exer{11 points}

\textit{Les parties A, B, C et D peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.}

Une entreprise produit en série des axes de moteurs électriques. Cette entreprise possède trois machines, que l'on appellera E, F et G. Chaque axe est produit par l'une de ces trois machines.

\textbf{Partie A}
Les machines E, F et G produisent respectivement 25 \%, 35 \% et 40 \% de la production totale.

On constate, un jour donné de production, que les machines E, F et G produisent respectivement 1,5 \%, 2,5 \% et 3 \% d'axes défectueux.

Montrer que la probabilité de prélever au hasard un axe défectueux dans la production totale de l'entreprise de ce jour est de 0,0245.

\medskip
\textbf{Partie B}

\textit{Dans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine E.}

La machine E se déréglant au cours du temps, on décide de noter chaque jour le pourcentage 
des axes défectueux produits. On obtient alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Jours $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
Pourcentage d'axes défectueux $y_i$ & 0,8 & 1,1 & 1,9 & 2,3 & 2,1 & 2,4 & 2,8 & 2,9 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\qst Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. (Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$).
\qst En admettant que l'évolution du pourcentage d'axes défectueux constatée pendant huit jours se poursuive les jours suivants, quel est le pourcentage prévisible, arrondi à 0,1 \%, d'axes défectueux produits le onzième jour par la mach E ?

\medskip
\textbf{Partie C}
\numqst1

\textit{Dans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine F.}

La machine F produit 2,5 \% d'axes défectueux. On prélève au hasard, dans la production de la machine F, un lot de 50 axes. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 50 axes de moteurs électriques, associe le nombre d'axes défectueux.

\qst Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$. Justifier la réponse.

\qst Calculer la probabilité que le lot contienne exactement deux axes défectueux (le résultat sera arrondi à $10^{-3}$).


\vfill
\hfill
2/3



\newpage
\textbf{Partie D}
\numqst1

\textit{Dans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine G.}

La machine G est bien réglée si, dans la production d'une journée, la moyenne des longueurs des axes est de 350 millimètres.

Pour vérifier le réglage de la machine G on construit un test d'hypothèse bilatéral au risque de 5 \%.

\qstssq Quelle est l'hypothèse nulle $H_0$ ?
Quelle est l'hypothèse alternative $H_1$ ?

\ssq On note $\bar{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 axes prélevés dans la production de la machine G associe la moyenne des longueurs de ces axes. La production de la machine G est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On suppose que, sous l'hypothèse nulle $H_0$, la 
variable aléatoire $\bar{X}$ suit la loi normale de moyenne 350 et d'écart-type 0,5.
\\
Sous l'hypothèse $H_0$, déterminer le réel $h$ tel que $P(350-h \le \bar{X} \le 350+h) = 0,95$.
\ssq \'Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.

\qst On prélève un échantillon de 100 axes et on constate que la moyenne des longueurs des axes de cet échantillon est de 349. Peut-on au risque de 5 \%, conclure que la machine G est bien réglée ?

\vfill
\hfill
3/3


\end{document}