\documentclass[12pt,annales]{profmath}

\begin{document}



\begin{exercice}[9 points]

\partieexo

L'étude d'un mouvement a montré que la vitesse exprimée en mètres par seconde est une fonction dérivable $y$ de la variable réelle positive $t$ vérifiant l'équation différentielle 
(E) : $y'+2 y =50$.

\qst Résoudre, sur l'intervalle \intfo{0}{+\infty}, l'équation différentielle $y'+2 y =0$.
\qst Déterminer une fonction constante solution de l'équation (E) sur l'intervalle \intfo{0}{+\infty}.
\qst En déduire la solution générale de (E) sur l'intervalle \intfo{0}{+\infty}.
\qst Sachant que la vitesse initiale à l'instant $t = 0$ est nulle, déterminer la vitesse $y$ en fonction de $t$.


\medskip
\partieexo

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle \intfo{0}{+\infty} par
$f(t) = 25 (1 -\e^{-2t})$.

On donne sur la feuille \textit{annexe}, à remettre avec la copie, la représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

La fonction $f$ représente la fonction vitesse déterminée dans la partie A.

\smallskip
\textbf{Le but de l'exercice est de justifier et de compléter la représentation graphique de la fonction $\boldsymbol{f}$ donnée en annexe.}
\smallskip

\qstssq Par lecture graphique déterminer une valeur arrondie au dixième de l'instant $t_{0}$ où la vitesse dépasse 20 m.s$^{-1}$.
\ssq Résoudre l'inéquation $f (t) > 20$. En déduire la valeur exacte de $t_{0}$.
\qst Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en donner une interprétation graphique.
\qst Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle \intfo{0}{+\infty}.
\qst Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point $O$, origine du repère.\newline
Construire cette droite sur l'annexe à remettre avec la copie.
\qst En utilisant le graphique donné en annexe, estimer l'aire en unités d'aire de la partie du
plan comprise entre la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $t = 1$ et $t = 2$.
\qstssq Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle \intfo{0}{+\infty}.
\ssq Calculer l'intégrale $\int_{1}^{2} f(t) \mathrm{d}t$. En donner une interprétation graphique.

\end{exercice}



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\begin{exercice}[11 points]

\textit{Les résultats seront arrondis au centième.}

\partieexo

Dans une usine U, une machine produit des barres de métal.

Dans cette partie on étudie la longueur de ces barres.

On définit la variable aléatoire $X$ qui à chaque barre associe sa longueur exprimée en centimètres et on admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 92,50$ et d'écart-type $\sigma$.

Une barre de la production est mise au rebut si sa longueur est inférieure à 92,20 cm ou supérieure à 92,80 cm.


\qst On suppose que $\sigma = 0,20$.
\ssq Calculer la probabilité qu'une barre extraite au hasard dans la production de la machine soit mise au rebut.
\ssq Déterminer le réel $a$ tel que la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne des 
valeurs comprises entre $92,5 - a$ et $92,5 + a$ soit égale à 0,95.

\qst Quelle valeur faut-il donner à l'écart type $\sigma$ pour que la probabilité de mise au rebut d'une barre soit égale à 0,08 ?

\medskip
\parindent 0cm
\textbf{Dans la suite de l'exercice, on suppose que l'écart type est $\boldsymbol{\sigma = 0,17}$.}


\partieexo

Dans la production de la machine, 8 \% des barres sont mises au rebut. On prélève un lot de 30 
barres extraites au hasard dans la production de la machine. Le nombre de barres produites est 
suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 
barres.

On appelle $N$ la variable aléatoire qui à chaque lot de 30 barres associe le nombre de barres 
qui sont mises au rebut dans ce lot.

\qst Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $N$ et donner ses paramètres.\newline
Justifier.
\qst Calculer la probabilité qu'aucune barre de ce lot ne soit mise au rebut.
\qst Calculer la probabilité que dans un tel lot, au moins 90 \% des barres ne soient pas mises au rebut.

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\partieexo

La machine se déréglant dans le temps, on veut tester la moyenne $m$ des longueurs des barres 
produites par la machine. On se demande si on peut accepter, au seuil de risque de 5 \%, 
l'hypothèse selon laquelle la moyenne $m$ des longueurs des barres est encore de 92,50 cm.

Pour cela, on construit un test d'hypothèse bilatéral.

On suppose que la variable aléatoire $\bar{X}$, qui à tout échantillon de 30 barres de métal prélevées 
au hasard associe la moyenne des longueurs en centimètres des barres de l'échantillon, suit 
une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type 0,03.

On choisit l'hypothèse nulle H$_{0}$ : \og $m = 92,50$ \fg.

\qst Donner l'hypothèse alternative H$_{1}$.
\qst Sous l'hypothèse H$_{0}$, calculer le réel $h$ tel que $P (92,5 - h < X < 92,5 + h) = 0,95$.
\qst \'Enoncer la règle de décision du test.
\qst On prélève un échantillon de 30 barres extraites au hasard dans la production de la 
machine, on obtient les résultats suivants :
\[
\begin{tabular}{|l|*{9}{>{\centering $}p{8mm}<{$}|}}\hline
Longueurs (en cm) & 92,1 & 92,2 & 92,3 & 92,4 & 92,5 & 92,6 & 92,7 & 92,8 & 92,9 \cr\hline
Nombre de barres & 3 & 2 & 6 & 5 & 5 & 3 & 2 & 2 & 2 \cr\hline
\end{tabular}
\]
Au vu des résultats de cet échantillon, peut-on admettre au seuil de risque de 5~\%, l'hypothèse selon laquelle la moyenne $m$ des longueurs des barres est encore de 92,50~cm ?

\end{exercice}



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\begin{center}
\textbf{ANNEXE (A REMETTRE AVEC LA COPIE)}
\end{center}

\medskip
\textbf{Exercice 1}

\medskip
Courbe représentative de la fonction $f$.


\bigskip

\psset{xunit=5cm,yunit=4mm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-5)(2.3,30)
\psaxes[Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(-0.8,-5)(2.3,30)
\psgrid[gridlabels=0pt,griddots=10,subgriddiv=0](0,0)(-0.8,-5)(2.3,30)
\psplot[algebraic]{-5}{2}{25*(1-2.718^(-2*x))}
\uput[-135](0,0){$O$}
\uput[90](1.8,25){$\Gamma$}
\uput[90](2.2,0){$t$}
\uput[0](0,29){$y$}
\end{pspicture*}




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\end{document}