\documentclass[12pt]{annales}
\newcommand{\Xbar}{\overline{\rule{0mm}{2ex}X}}
\begin{document}
\entete{1995}
\exo 4
Un traceur à rouleau dessine, sur chaque plan produit par un cabinet de géomètre, un cartouche ayant la forme d'un rectangle dont la longueur doit mesurer 10 cm. Pour tester le réglage du traceur, on prélève un échantillon aléatoire de 100 cartouches. On porte les mesures effectuées dans le tableau suivant :

\medskip
\centerline{\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Mesure&9,94&9,96&9,98&10&10,02&10,04&10,06\\\hline
Effectif&13&17&19&28&16&4&3\\\hline
\end{tabular}}

\qst Donner la moyenne $\bar{x}_e$ et l'écart type $\sigma_e$ de cet échantillon. Le détail des calculs n'est pas demandé.
\qst Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque cartouche, associe sa longueur. Le traceur est réglé pour une moyenne de X qui serait $m=10$ cm avec un écart type $\sigma=0,03$ cm.\\
On note $\Xbar_{100}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille 100, associe la moyenne des longueurs des 100 cartouches qu'il contient. On admet que $\Xbar_{100}$ suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart type 0,003.
\ssq Déterminer le réel positif $h$ tel que $P(10-h\le \Xbar_{100}\le 10+h)=0,95$.
\ssq On avait convenu que :\\
si $\bar{x}_e\in[10-h\,;\,10+h]$ le traceur est bien réglé\\
si $\bar{x}_e\notin[10-h\,;\,10+h]$ on règle à nouveau le traceur.\\
Au vu du résultat de la question 1°/, devra-t-on procéder à un nouveau réglage du traceur  ?

\newpage
\exo 6
On considère la fonction numérique $f$ définie pour tout $x$ réel par $f(x)=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}$.\\
$(C)$ est la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$.\\
Unités de longueur sur chaque axe : 2 cm.

\centerline{\bf - A -}
\qst Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ telles que, pour tout $x$, on ait $f(x)=ax+\frac{bx}{1+3x^2}$.
\qst \'Etudier les variations de $f$.
\qst Tracer la courbe $(C)$ et son asymptote $(D_0)$. On précisera la position de $(C)$ par rapport à $(D_0)$.


\centerline{\bf - B -}
\numqst0
\smallbreak On considère la droite $(D_m)$ d'équation $y=\frac 13(x+m)$ où $m$ est une constante positive.
\qstssq Vérifier que, pour $0<m<\frac 4{\sqrt3}$, $(D_m)$ coupe $(C)$ en deux points distincts $M_1$ et $M_2$.
\ssq \'Etudier la position de cette droite par rapport à $(C)$ quand $m=\frac 4{\sqrt3}$.
\qstssq Vérifier que les projections orthogonales $P_1$ et $P_2$ de $M_1$ et de $M_2$ sur l'axe des abscisses sont des points inverses l'un de l'autre dans une inversion de pôle $O$ et de puissance constante que l'on précisera.
\ssq $B$ est le point de coordonnées $(0\,;\,1)$. Que peut-on déduire du a) quant aux cercles circonscrits aux triangles $BP_1P_2$ ?

\pb{10}
L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. Les mesures des angles sont exprimées en radians. \'Etant donné un point $M$, on appelle $m$ son projeté orthogonal sur le plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$.
Sur la sphère $(S)$ de centre $O$ et de rayon 1, on repère un point $M$ par sa longitude $\theta=(\vec\imath,\overrightarrow{Om})$ et sa latitude 
$\varphi=(\overrightarrow{Om},\overrightarrow{OM})$.

\centerline{\bf - A -}
\qst \'Ecrire les coordonnées cartésiennes de $M$ de $(S)$ en fonction de $\theta$ et de $\varphi$.
\qst On note $(P)$ le plan d'équation $x=z$. On appelle $(\Gamma)$ l'ensemble des points de l'intersection de $(S)$ avec $(P)$ dont la longitude est comprise entre 0 et $\frac{\pi}2$. On nomme $A$ et $B$ les points de $(\Gamma)$ correspondant aux valeurs 0 et $\frac{\pi}2$ de $\theta$.
\ssq Donner les coordonnées cartésiennes de $A$ et de $B$.
\ssq Exprimer la latitude d'un point de $(\Gamma)$ en fonction de sa longitude.
\ssq Vérifier que les coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ d'un point de longitude $\theta$ sur $(\Gamma)$ sont :
\hfil$x=\frac{\cos\theta}{\sqrt{1+\cos^2\theta}}$
\hfil$y=\frac{\sin\theta}{\sqrt{1+\cos^2\theta}}$
\hfil$z=\frac{\cos\theta}{\sqrt{1+\cos^2\theta}}$.\\
(On peut utiliser la formule $1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$).
\ssq Préciser la nature de $(\Gamma)$.

\medbreak 
\centerline{\bf - B -}
\numqst0\medbreak
Soit $(\gamma)$ la projection orthogonale de $(\Gamma)$ sur le plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$.
\qst Vérifier que $(\gamma)$ est une partie de la conique d'équation cartésienne $2x^2+y^2=1$. Quelle est la nature de cette conique ?
\qst Dessiner $(\gamma)$ dans le plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$. (Pour cette figure, on prendra 5 cm comme unité de longueur et on indiquera dans ce dessin les projections orthogonales de $A$ et de $B$.)

\medbreak
\centerline{\bf - C -}
\medbreak On considère le point $C$ de $(S)$ défini par $\theta=\frac{\pi}{4}$ et $\varphi=0$.\\
Calculer, à $10^{-3}$ près, l'aire du triangle sphérique $ABC$.

{\bf Rappels :} $A$, $B$, $C$ désignant les sommets et $a$, $b$, $c$ les côtés d'un triangle sphérique sur une sphère de rayon 1, on a les relations :\\
$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A$\\
$\mbox{aire}(ABC)=A+B+C-\pi$.

\end{document}
