\documentclass[12pt,annales]{profmath}

\begin{document}

\exer{6 points}

On saisit un texte et on l'imprime par pages de 50 lignes de 80 caractères, c'est-à-dire avec 4000 caractères par page.

La probabilité pour chaque caractère d'être mal saisi, ce qui entraine une faute de frappe, est de 1/1000. On admet que les fautes de frappe sont indépendantes les unes des autres.

On appelle $X$ la variable aléatoire définie par le nombre de fautes de frappe par page.

\begin{center}
\textbf{- A -} 
\end{center}

\qstssq Exprimer la valeur exacte de $P(X=0)$.
\ssq En donner une valeur approchée en indiquant la façon dont la calculatrice a été employée.

\qst Indiquer la loi de probabilité classique suivie par $X$, ses paramètres, puis l'espérance mathématique et l'écart-type de $X$.

\qst Justifier brièvement qu'on peut approcher la loi de $X$ par une loi de Poisson, de paramètre $\lambda=4$.

\begin{center}
\textbf{- B -} 
\end{center}

\numqst1

Dans cette partie, on admet que $X$, donnant le nombre de fautes de frappe par page, suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda=4$.

\qst Calculer $P(X=0)$ et comparer ce résultat à celui du 1°) de la partie A.
\qst Si on tolère jusqu'à trois fautes de frappe par page, quel est le pourcentage de pages à rejeter ?
\qst Combien de fautes par page faut-il tolérer pour rejeter moins de 1 \% des pages ?


\exer{8 points}
On considère, dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O,\,\vec\imath,\,\vec\jmath,\,\vec k)$, la sphère $\Sigma$ de centre $O$, de rayon~1. Sur cette sphère, les points sont repérés par leur longitude $\theta$ et leur latitude $\varphi$. Si $m$ est le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $(O,\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$, 

$\theta = (\vec\imath,\Vect Om)$, $\varphi = (\Vect Om,\Vect OM)$. \textit{Les mesures des angles sont données en radians.}

\newpage
\begin{tabular}{p{3cm}l}%
Soient les points
&
$I\,\left(\theta=0,\,\varphi=0\right)$
\quad
$A\,\left(\theta=\dfrac{\pi}{4},\,\varphi=\dfrac{\pi}{4}\right)$
\quad
$B\,\left(\theta=\dfrac{\pi}{2},\,\varphi=0\right)$
\\
&
$C\,\left(\theta=0,\,\varphi=\dfrac{\pi}{2}\right)$
et
$S\,\left(\theta=0,\,\varphi=-\dfrac{\pi}{2}\right)$
\end{tabular}


\begin{minipage}{10cm}
\psset{unit=34mm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
%\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-3.9,-3.9)(4.9,4.9)
\pscircle{1}
\psEllipse(0,0)(1,0.5){-180}{0}{0}
\psEllipse(0,0)(0.264,1){-90}{90}{0}
\psEllipse(0,0)(0.529,1){90}{270}{0}
\psEllipse(0,0.706)(0.7,0.18){-180}{0}{0}
\psEllipse[linestyle=dotted](0,0)(1,0.5){140}{180}{0}
\psEllipse[linestyle=dotted](0,0)(1,0.5){0}{40}{0}
\psEllipse[linestyle=dotted](0,0.706)(0.7,0.18){120}{180}{0}
\psEllipse[linestyle=dotted](0,0.706)(0.7,0.18){0}{60}{0}
%
\psline{->}(0,1)
\psline{->}(1,0)
\psline{->}(-0.44,-0.44)
\psline[linestyle=dotted](-1,0)(-0.7,0)
\psline[linestyle=dotted](0,-1)(0,-0.7)
\psline(0.235,-0.5)
\psline(-0.45,0.58)
%
\psarc{->}(0,0){0.2}{-125}{-75}
\psarcn{->}(0,0){0.2}{220}{140}
\rput(-0.55,-0.55){$I$}
\rput(0.1,0.1){$O$}
\rput(-0.4,-0.25){$\vec\imath$}
\rput(0.8,-0.1){$\vec\jmath$}
\rput(-0.1,0.8){$\vec k$}
\rput(0.8,0.8){$\Sigma$}
\rput(0,-0.3){$\frac{\pi}{4}$}
\rput(-0.3,0){$\frac{\pi}{4}$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{5cm}
\begin{footnotesize}Le schéma ci-contre n'est qu'une perspective approximative.\end{footnotesize}
\end{minipage}

\qstssq Reproduire la partie utile du schéma en y plaçant les points $A$, $B$, $C$ et $S$.
\ssq Lire sur le schéma ou calculer les mesures des côtés $a$, $b$, $c$ du triangle sphérique $ABC$.\\
\underline{Rappel} : $\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \hat{A}$.
\ssq Déterminer les coordonnées cartésiennes de $A$, $B$ et $C$.

\qst On considère l'inversion $\cal I$ de pôle $S$, de puissance 4.
\ssq Quelle est l'image de la sphère $\Sigma$ dans l'inversion $\cal I$ ?\\
Quelle est l'image par l'inversion $\cal I$ d'un grand cercle qui passe par $C$ ?
\ssq Déterminer les coordonnées des points $B'={\cal I}(B)$ et $C'={\cal I}(C)$.\\
Montrer que $A'={\cal I}(A)$ a pour coordonnées $(2-\sqrt{2}\,;\,2-\sqrt{2}\,;\,1)$.


\qst On appelle $\Gamma_1$ le grand cercle qui passe par $A$ et $C$ et $\Gamma'_1$ son image par $\cal I$.\\
On appelle $\Gamma_2$ le grand cercle qui passe par $B$ et $C$ et $\Gamma'_2$ son image par $\cal I$.\\
On appelle $\Gamma_3$ le grand cercle qui passe par $A$ et $B$ et $\Gamma'_3$ son image par $\cal I$.

\ssq Préciser la nature de $\Gamma'_1$, $\Gamma'_2$, $\Gamma'_3$ et déterminer les équations de $\Gamma'_1$ et $\Gamma'_2$ dans le repère $(C,\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$.
\ssq Représenter dans le plan $(C,\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$ les points $A'$, $B'$, $C'$ et les inverses des côtés du triangle sphérique $ABC$.

(\textit{Pour la construction de l'inverse du côté $AB$, on pourra utiliser le point $D$ symétrique de $B$ par rapport à $O$}).

\newpage
\exer{6 points}
On considère la fonction $f$ définie sur \R par $f(x) = \dfrac{8x-15}{1+x^2}$ et sa courbe représentative $(\Phi)$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.

L'origine des axes sera placée de telle sorte que l'axe des abscisses puisse être gradué de $-8$ à $+8$ et l'axe des ordonnées de $-20$ à $+2$.

\qstssq Calculer $f'(x)$. On justifiera que $f'(x)$ est du signe de $(4x+1)(4-x)$.
\ssq \'Etudier les variations de $f$. En précisant les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$, on indiquera une asymptote de $(\Phi)$.

\qstssq Reproduire, compléter et utiliser sur le graphique le tableau de valeurs ci-dessous :

\begin{displaymath}
% use packages: array
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -7 & -5,5 & -3 & -2 & -1 & -0,75 & -0,5 & -0,25
\\\hline
f(x) &  & × & × & × & × & × & × & ×
\\\hline
\end{array}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
% use packages: array
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 0 & 0,5 & 0,75 & 1 & 2 & 3 & 5,5 & 7
\\\hline
f(x) &  & × & × & × & × & × & × & ×
\\\hline
\end{array}
\end{displaymath}



\ssq Tracer $(\Phi)$ dans les conditions indiquées plus haut.

\qstssq Déterminer les primitives de $f$.
\ssq Un calcul approché (avec la précision de la calculatrice) amène à considèrer le nombre 
$\alpha = 17,0025978$.
\\
Calculer à $10^{-6}$ près 
$\int_{0}^{\alpha}f(x)\mathrm{d}x$.
\\
Quelle interprétation géométrique peut-on en donner ?





\end{document}

%%% Extraits du package profmath.sty
\makeatletter
\long\def\@psElla(#1,#2)(#3,#4)#5#6#7{%
\parametricplot{#5}{#6}{t cos #7 cos mul #3 mul t sin #7 sin mul -#3 mul add #1 add t cos #7 sin mul #3 mul t sin #7 cos mul #4 mul add #2 add}%
}

\long\def\@psEllb[#1](#2,#3)(#4,#5)#6#7#8{%
\parametricplot[#1]{#6}{#7}{t cos #8 cos mul #4 mul t sin #8 sin mul -#4 mul add #2 add t cos #8 sin mul #4 mul t sin #8 cos mul #5 mul add #3 add}%
}

\def\@psEllchoix{\ifx\firstchar[\let\next=\@psEllb\else\let\next=\@psElla\fi\next}
\def\psEllipse{\futurelet\firstchar\@psEllchoix}

\makeatother
