\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}

\titre{BTS Géomètre Topographe - Session 1997}

\begin{center}
\underline{\textbf{EXERCICE I (5 points)}}
\end{center}

La molécule de méthane est composée d'un atome de carbone et de quatre atomes d'hydrogène. Les quatre atomes d'hydrogène occupent les sommets d'un tétraèdre régulier $ABCD$ ; l'atome de carbone est au centre $O$ de ce tétraèdre.

\tabfig{
On se propose de mesurer de deux façons l'angle formé par deux liaisons carbone-hydrogène (par exemple l'angle \angle{BOC}).

\underline{\textbf{1ère méthode : }}
\begin{tabular}[t]{l}
$I$ est le milieu du segment $[AB]$
\\
$J$ est le milieu du segment $[CD]$
\end{tabular}

\qst Justifier brièvement que $O$ est le milieu de $[IJ]$.
\qst On note $u$ la longueur commune des quatre côtés du tétraèdre. $u=AB$. Exprimer, en fonction de $u$, les longueurs $AI$, $AJ$, $IJ$, $OI$, des segments $[AI]$, $[AJ]$, $[IJ]$, $[OI]$.

}{
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,0)(3,6.7)
\pspolygon(0,6)(-2,2)(-1,1)(0,6)(2,2)(-1,1)
\psline(-2,2)(2,2)
\psdots(0,6)(-2,2)(-1,1)(2,2)(0,3)(1,4)(-1.5,1.5)
\uput[90](0,6){$A$}
\uput[0](2,2){$B$}
\uput[-90](-1,1){$C$}
\uput[180](-2,2){$D$}
\uput[0](0,3){$O$}
\uput[30](1,4){$I$}
\uput[225](-1.5,1.5){$J$}
\end{pspicture*}
}

\qst On prend $OA=1$, c'est-à-dire le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$, comme unité de longueur. Calculer $u$.

\qst Calculer une ligne trigonométrique (sinus, cosinus ou tangente) de l'angle \angle AOI puis en déduire une valeur approchée, à $0,01$° près, de la mesure en degré décimal de $\angle AOB$.

\medskip
\parindent 0cm

\tabfig{

\underline{\textbf{2ème méthode :}}
\numqst1

\`A partir des quatre sommets du tétraèdre régulier, on peut découper la sphère de centre $O$ et de rayon $OA=1$, en quatre triangles sphèriques équilatéraux.

\qst Calculer l'aire d'un des quatre triangles sphè-riques équilatéraux, tel que $ABC$. Calculer la mesure $\hat{A}$ en radians d'un angle de ce triangle sphèrique.
\qst De la formule classique, dans un triangle sphèrique, avec les notations habituelles,
\newline
$\cos a = \cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \hat{A}$, déduire $\cos a$ et retrouver la mesure de \angle AOB en degré décimal.

}{
\psset{unit=0.8cm,algebraic=true}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(4,6.7)
\psdots(0,6)(-2,2)(-1,1)(2,2)(0,3)
\uput[90](0,6){$A$}
\uput[0](2,2){$B$}
\uput[-90](-1,1){$C$}
\uput[180](-2,2){$D$}
\uput[160](0,3){$O$}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,3)(-1,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,3)(2,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,3)(0,6)
\pscircle(0,3){3.5}
\psline(0,6)(-1.72,4.56)
\psline(0,6)(-2.54,6.28)
\psline(0,6)(2.52,6.34)
\parametricplot{-2.444571276337194}{0.13411078259227605}{0.3*cos(t)|0.3*sin(t)+6}
\uput[-45](0,6){$\hat{A}$}
\parametricplot{-2.0344439357957027}{-0.46364760900080615}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+3}
\uput{0.8}[-65](0,3){$a$}
%\parametricplot{1.57}{4.2487}{1.5*cos(t)+0|2.8*sin(t)+3}
\psbezier(0,6)(-1,5.16)(-2,3)(-1,1)
\psbezier(0,6)(1,6.13)(2,5)(2,2)
\psbezier(-1,1)(0,0.8)(2,1.7)(2,2)
%\parametricplot{-2.0344439357957027}{-0.46364760900080615}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+3}
%\parametricplot{-2.0344439357957027}{-0.46364760900080615}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+3}
\end{pspicture*}
}


\newpage


\begin{center}
\underline{\textbf{EXERCICE II (7 points)}}
\end{center}

\numqst1

Dans le plan rapporté au repère orthonormal \Oij, on désigne par $ {\cal C} $ la courbe définie paramétriquement par 
$
\left\{
\begin{array}[l]{l}
x = f(t) = t \sqrt{1-t^2}
\\
y = g(t) = (1+t^2) \sqrt{1-t^2}
\end{array}
\right.
$

\qst Montrer que $ {\cal C} $ admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.
\qst Dresser le tableau des variations de $f$ et de $g$ pour $t\in\intff{-1}{1}$.
\qst Calculer $\lim\limits_{t\to1}\dfrac{f(t)}{g(t)}$ et en déduire le coefficient directeur de la tangente à $ ({\cal C}) $ en l'origine~$O$.
\qst Tracer la courbe $ {\cal C} $. (On prendra $||\vecti|| = |||\vectj||=10 \mbox{ cm}$).
\qst Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $ {\cal C} $.
\newline
\underline{Nota bene :}
L'aire de la partie du plan limitée par cette boucle est donnée par :
\newline
$\cal A = \displaystyle\int_{-1}^{1}g(t)f'(t)\,\mathrm{d}t$, en unités d'aire.

\vskip 2cm

\begin{center}
\underline{\textbf{EXERCICE III (8 points)}}
\end{center}

\numqst1

$A$, $R$ et $C$ sont trois points non alignés du plan. $P$ désigne un point variable du secteur angulaire $\angle ARC$ tel que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ de centres $O$ et $O'$, circonscrits aux triangles $ARP$ et $CRP$, soient différents. \textit{(voir le schéma sur la feuille-réponse pour tracer les éléments géométriques des parties A et B du problème)}.


\begin{center}
\underline{A - UTILISATION D'UNE INVERSION (3 points)}
\end{center}

Soit $I$ l'inversion de pôle $R$ et de puissance $k=RA.RC$, où $RA$ et $RC$ sont les longueurs des segments.

\qst Montrer que le point $A'=I(A)$ vérifie : $RA'=RC$. Sur le schéma, placer $A'$ et $C'=I(C)$.
\qst Préciser la nature des ensembles $E=I(\Gamma)$ et $E'=I(\Gamma')$. Tracer avec précision $E$ et~$E'$.
\qst Prouver que les ensembles $E$ et $E'$ ont un point commun unique, qu'on notera $M$.


\newpage

\begin{center}
\underline{B - EQUATIONS CARTESIENNES (4 points)}
\end{center}

\numqst1

Afin de faciliter les calculs, on choisit un repère orthonormal $(R ; \vecti ; \vectj)$ d'origine $R$ et tel que $A$ soit sur l'axe des abscisses (\textit{voir le schéma}). Dans ce repère, les points $A$ et~$C$ (fixes) et $P$ (variable), ont pour coordonnées : $A\,\coordh{-2}{0}$,
$B\,\coordh{3}{4}$ et $P\,\coordh{a}{b}$ avec $ab \neq 0$. 

\qst Calculer les coordonnées de $A'$ et de $C'$.
\qst On considère les angles géométriques (non orientés) $\alpha=\angle APR$ et $\gamma=\angle CPR$.
\ssq Quelle est l'image par l'inversion $I$ du point $P$ ? Montrer que $\angle A{A'}M = \alpha$.
\ssq Exprimer, en fonction de $\alpha$, le coefficient directeur de la droite $(MA')$ et en déduire une équation de cette droite.
\qstssq Vérifier que l'angle $\left(\vecti, \Vect RC \right)$ a une tangente égale à 4/3.
\ssq Justifier que $\angle R{C'}M = \gamma$. En déduire la valeur de 
$\tan\left(\vecti, \Vect {C'}M\right)$ en fonction de $\tan\gamma$, puis une équation de la droite $(MC')$.

\bigskip

\begin{center}
\underline{C - RELEVEMENT TOPOGRAPHIQUE (1 point)}
\end{center}

\numqst1

Un observateur se repère par rapport à trois points géodésiques : une antenne TV $A$, un relais téléphonique $R$ et un clocher $C$ situés comme sur le schéma, les distances étant maintenant exprimées en km.
Un théodolite, placé au point $P$, dans le secteur angulaire~\angle ARC, permet de mesurer les angles $\alpha=\angle APR=25 \mbox{ gr}$ et $\gamma=\angle CPR = 70 \mbox{ gr}$.

\qst Déduire du paragraphe B les coordonnées du point $M$ à 1 m près.
\qst Calculer, à 1 m près, les coordonnées du point d'observation $P$.


\newpage

\begin{center}

\underline{\textbf{FEUILLE REPONSE de l'exercice III A RENDRE AVEC LA COPIE}}

\bigskip

\psset{unit=2.0cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-4.1,-0.5)(4,6)
\psaxes[labelFontSize=\small,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-1)(4,6)
\pscircle(-1,2.28){2.49}
\pscircle(0.59,2.68){2.75}
\psline(-1.2,4.76)(-2,0)
\psline(-1.2,4.76)(0,0)
\psline(-1.2,4.76)(3,4)
\psline(0,0)(3,4)
\pscustom{\parametricplot{-1.7373074011867597}{-1.3238413816559715}{0.6*cos(t)+-1.2|0.6*sin(t)+4.76}\lineto(-1.2,4.76)\closepath}
\pscustom{\parametricplot{-1.3238413816559715}{-0.17901527702148545}{0.6*cos(t)+-1.2|0.6*sin(t)+4.76}\lineto(-1.2,4.76)\closepath}
\parametricplot{-1.3238413816559715}{-0.17901527702148545}{0.6*cos(t)+-1.2|0.6*sin(t)+4.76}
\parametricplot{-1.3238413816559715}{-0.17901527702148545}{0.5*cos(t)+-1.2|0.5*sin(t)+4.76}
\psline[linestyle=dashed](0,4)(3,4)(3,0)
\psdots(-2,0)(3,4)(0,0)(-1.2,4.76)(-1,2.28)(0.59,2.68)
\rput[bl](-1.92,0.12){$A$}
\rput[bl](3.08,4.12){$C$}
\uput[-60](0,0){$R$}
\uput[90](-1.2,4.76){$P$}
\rput[bl](-2.8,4.36){$\Gamma$}
\rput[bl](0.46,5.6){$\Gamma\,'$}
\uput[90](-1,2.28){$O$}
\uput[90](0.59,2.68){$O'$}
\rput[bl](-1.24,3.9){$\alpha$}
\rput[bl](-0.68,4.18){$\gamma$}
\end{pspicture*}


\end{center}










\end{document}
