\documentclass[12pt]{annales}
\begin{document}
\entete{1998}
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\exo 4
{\it Les trois questions sont ind�pendantes les unes des autres.}\\
Une machine produit en grande s�rie des billes pour roulements. Le diam�tre (en cm) de ces billes est distribu� suivant une loi normale de moyenne $\mu$ inconnue et d'�cart type $\tau=0,0025$.
\qst On extrait des �chantillons al�atoires (non exhaustifs) de 100 billes. On admet que le diam�tre moyen des billes de chaque �chantillon est une variable al�atoire, de moyenne $\mu$ et d'�cart type $\frac{\tau}{10}$. Le premier �chantillon extrait pr�sente une moyenne $\mu_ {\rm e}=0,499$ cm. A partir de l�, donner une estimation par intervalle de confiance au seuil 99 \% du diam�tre moyen $\mu$ des billes.
\qst On admet que le diam�tre moyen des billes est $\mu=0,499$ cm. Une bille est conforme si son diam�tre est compris entre 0,495 et 0,505 cm. Calculer la probabilit� pour une bille d'�tre conforme.
\qst Dans cette question, on note C l'�v�nement : "la bille est conforme". On admet que la probabilit� de l'�v�nement C est $p({\rm C})=0,94$. Les billes sont test�es afin d'�carter les billes non conformes. Il apparait qu'avec ce test :\\
- la probabilit� pour une bille conforme d'�tre accept�e est 0,99\\
- la probabilit� pour une bille d'�tre rejet�e est 0,05.\\
Calculer la probabilit� pour une bille accept�e d'�tre conforme.

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\exo 8
On consid�re la fonction $f$ � valeurs r�elles, d�finie sur $I=]-\pi\,;\,\pi[$ par 
$$f(x)=\frac{\sin x}{3+\cos x-2\cos^2x}.$$

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{\bf A/ \underline{Pr�ambule} :}
\qst Donner la valeur pour $t=-1$ des polyn�mes $u(t)=-2t^2+t+3$ et $v(t)=2t^3-t+1$.
\qst En d�duire la factorisation des polyn�mes $u$ et $v$.

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{\bf B/ \underline{Etude de la fonction} :}
\numqst0
\qst Montrer que $f$ est impaire.
\qst Montrer que $f(x)=\frac{\sin x}{(1+\cos x)(3-2\cos x)}$. Calculer 
$\lim \limits_{x\to \pi \atop x < \pi}}\,f(x)$.
\qst Montrer que, pour tout $x$ appartenant � $I$, $f'(x)=\frac{1-\cos x+2\cos^3x}{(3+\cos x-2\cos^2x)^2}$.
\qst Montrer que, pour tout $x$ appartenant � $I$, $f'(x)$ et $(1+\cos x)$ sont de m�me signe. (On pourra utiliser la factorisation de $v(t)$ obtenue au A.1�/).\\
En d�duire les variations de $f$ sur $I$.

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{\bf C/ \underline{Etude de la courbe \bolmath$\cal C$\unboldmath} :}\\
\numqst0
On note $\cal C$ la courbe repr�sentative de $f$ dans le plan muni du rep�re orthonormal $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ avec comme unit� 2 cm.
\qst Soit (T) la tangente � $\cal C$ au point d'abscisse 0. Ecrire une �quation de (T).
\qst Sur le m�me dessin, repr�senter $\cal C$ et (T).

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{\bf D/ \underline{Calcul int�gral} :}
\numqst0
\qst D�terminer $a$ et $b$ tels que, pour tout $t$ appartenant � $[0\,;\,1]$ :
$$\frac{1}{-2t^2+t+3}=\frac{a}{t+1}+\frac{b}{-2t+3}.$$
\qst Calculer $\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx$. On donnera la valeur exacte du r�sultat. On conseille le changement de variable $t=\cos x$.

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\exo 8
L'espace est muni d'un rep�re orthonormal $(O\,;\,\vec\imath\,;\,\vec\jmath\,;\,\vec k)$.

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{\bf A/ \underline{Configuration dans l'espace} :}
\qst Soit $(K)$ le c�ne de r�volution d'axe $(O,\vec k)$, de sommet $S(0\,;\,0\,;\,\sqrt3)$ et de demi-angle au sommet $\frac{\pi}{6}$. D�montrer que $(K)$ est l'ensemble des points $M(x\,;\,y\,;\,z)$ v�rifiant :
$$3x^2+3y^2-(z-\sqrt3)^2=0.$$
\qst Soit $(\Sigma)$ la sph�re de centre $O$, de rayon 1. Montrer que l'intersection $(K)\cap(\Sigma)$ du c�ne et de la sph�re est la r�union de deux cercles $(\Gamma_1)$ et $(\Gamma_2)$ dont on donnera les centres et les rayons respectifs.
\qst Soit $\cal J$ l'inversion de p�le $S$ et de puissance 2. On note ${\cal J}(M)$ l'image d'un point $M$ par~$\cal J$.
\ssq On note $A\left(\frac12\,;\,0\,;\,\frac{\sqrt3}2\right)$ et $B\left(\sqrt{\frac23}\,;\,\sqrt{\frac13}\,;\,0\right)$. D�terminer $A'={\cal J}(A)$ et $B'={\cal J}(B)$.
\ssq D�terminer, en les justifiant, les images respectives de $(\Gamma_1)$ et de $(\Gamma_2)$ par $\cal J$.

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{\bf B/ \underline{Trigonom�trie sph�rique} :}\\
\numqst0
On rappelle que si $m$ est le projet� orthogonal de $M$ sur $(O\,;\,\vec\imath\,;\,\vec\jmath)$, la latitude  $\varphi$ et la longitude~$\theta$ du point $M$ seront $\varphi=(\overrightarrow{Om},\overrightarrow{OM})$ et 
$\theta=(\vec\imath,\overrightarrow{Om})$.

\qst On donne le point $P(0\,;\,0\,;\,1)$.\\
Donner les coordonn�es sph�riques des points $A$, $B$, $P$ sur la sph�re $(\Sigma)$.
\qst R�soudre le triangle sph�rique $ABP$.\\
Rappel : dans le triangle sph�rique de sommets $A$, $B$, $C$ si $a$, $b$, $c$ sont les mesures des c�t�s et $\widehat{A}$ la mesure de l'angle en $A$ :
$\cos a=\cos b.\cos c+\sin b.\sin c.\cos\widehat{A}$.

\end{document}