\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}
%\entete{1999}

\titre{BTS Géomètre Topographe -- Sujet 1999}

\medskip
\textbf{Attention : cet exercice Iest maintenant devenu hors programme.}

\begin{exercice}[8 points]

La réalisation d'un certain type de dossiers techniques nécessite trois travaux consécutifs :
\newline
\hskip 1cm
T (relevé topographique), R (rédaction) et D (tirage et assemblage des dossiers).

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On considère que les durées respectives, en jours, nécessaires à l'exécution de chacun des travaux T, R et D, sont des variables aléatoires, notées $ X_{T} $, $ X_{R} $ et $ X_{D} $.

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Une étude statistique effectuée dans un cabinet de géomètre donne les lois de probabilités suivantes :

pour $ X_{T} $,

\centerline{
\begin{tabular}{c|*{3}{>{\centering}p{2cm}}}
durée en jours, $ x_{i} $ & 8 & 9 & 10 \cr \hline 
$ P(X_{T}=x_{i}) $ & 0,1 & 0,4 & 0,5 \cr
\end{tabular} 
}

pour $ X_{R} $,

\centerline{
\begin{tabular}{c|*{3}{>{\centering}p{2cm}}}
durée en jours, $ x_{i} $ & 4 & 5 & 6 \cr \hline 
$ P(X_{R}=x_{i}) $ & 0,3 & 0,6 & 0,1 \cr
\end{tabular} 
}

et pour $ X_{D} $,

\centerline{
\begin{tabular}{c|*{2}{>{\centering}p{2cm}}}
durée en jours, $ x_{i} $ & 3 & 4  \cr \hline 
$ P(X_{D}=x_{i}) $ & 0,6 & 0,4 \cr
\end{tabular} 
}

\qst Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de chacune des variables aléatoires $ X_{T} $, $ X_{R} $ et~$ X_{D} $.

\qst On suppose que les trois types de travaux sont indépendants ; on note $ X $ la variable aléatoire qui,à chaque dossier, associe le nombre de jours nécessaires à sa réalisation :
$ X = X_{T} + X_{R} + X_{D} $.

\ssq Calculer $ E(X) $.
\ssq Quelles sont les différentes possibilités pour que $ (X=19) $ ?
\newline
Montrer que $ P(X=19) =0,166$.
\ssq Sachant qu'un dossier a été réalisé en 19 jours, calculer à 0,001 près la probabilité que l'exécution du relevé topographique ait nécessité 10 jours.

\qstssq Dresser le tableau de la loi de probabilité de $ X $.
\newline
\textit{(On ne fera pas figurer sur la copie les calculs conduisant à ce tableau).}
\newline
En déduire la valeur (arrondie à 0,1 près) de l'écart type $ \sigma(X) $.
\ssq Comment, en utilisant les variances $ V(X_{T}) $, $ V(X_{R}) $ et $ V(X_{D}) $, pouvait-on obtenir ce résultat ?

\end{exercice}

\newpage


\begin{exercice}[12 points]
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \ron d'unité graphique 2 cm. Les tracés de droites et de courbes seront effectués sur la feuille de papier millimétré jointe.\\
On considère la parabole $(\cal P)$ d'équation : $y=\dfrac{x^2}{4}$.
\qstssq Vérifier que $(\cal P)$ admet pour foyer le point $F$, de coordonnées $(0\,;\,1)$.
\ssq Tracer $(\cal P)$.
\qst Pour tout réel $t$ non nul, on considère le point $M$ de $(\cal P)$ d'abscisse $t$.\\
On note $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses.
\ssq Déterminer, en fonction de $t$, une équation cartésienne de chacune des droites $(OM)$ et $(FH)$.
\ssq Montrer que le point d'intersection de ces deux droites appartient à la courbe 
$(\cal E)$ d'équation $x^2+(2y-1)^2=1$.
\ssq Préciser la nature de $(\cal E)$, son centre et ses sommets.\\
(\textit{On ne demande pas son tracé sur la copie}).
\qst Soit $(D)$ la droite perpendiculaire à $(OM)$ et passant par $H$.
\ssq Déterminer une équation cartésienne de $(D)$.\\
En déduire qu'elle passe par un point fixe $\Omega$, dont on précisera les coordonnées.
\ssq On note $Q$ le point d'intersection des droites $(D)$ et $(OM)$.\\
Montrer que $Q$ appartient au cercle $(\cal C)$, d'équation $x^2+(y-2)^2=4$.\\
Tracer $(\cal C)$ sur le même graphique que $(\cal P)$.
\qst On considère les fonctions $f$ et $g$, définies sur l'intervalle 
$[-1\,;\,1]$ par :
$$f(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{2}\quad\mbox{et}\quad g(x)=2-\sqrt{4-x^2}.$$

\ssq Déterminer les développements limités au voisinage de $x=0$, à l'ordre 4, de $f(x)$ et de $g(x)$.
\ssq Quelles positions relatives, au voisinage de $O$, des trois courbes 
$(\cal P)$, $(\cal C)$ et $(\cal E)$ peut-on en déduire ?

\end{exercice}


\end{document}