\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}
{\bf

\taille{15}

\begin{center}

BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR

\vskip 1.7 cm

G\'EOM\`ETRE - TOPOGRAPHE

\vskip 1.7 cm

session 2000

\vskip 2.7 cm

\'Epreuve de MATH\'EMATIQUES

\vskip 1 cm

durée : 2 heures
\hfill
coefficient : 2

\vskip 0.7 cm

\hrule

\end{center}

\vskip 10 cm

\taille{12}

\textit{L'usage des instruments de calcul et du formulaire de mathématiques est autorisé.
\\[2ex]
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
}
}

\vfill

GTMAT
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1/4

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\parskip 4mm




\begin{center}
EXERCICE 1 \textit{(6 points)}
\end{center}

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \ronspace.

L'unité de mesure d'angle est le radian.

Sur une sphère de centre $O$ :

-- deux points $A$ et $B$ déterminent l'arc $\Arc{AB}$ sur le grand cercle passant par $A$ et $B$ ;

-- trois points $A$, $B$ et $C$ déterminent les arcs $\Arc{AB}$, $\Arc{BC}$ et $\Arc{CA}$ qui constituent le \og triangle sphérique \fg $ABC$.

Avec les notations usuelles :

-- $a$ désigne la mesure de l'angle $\angle BOC$ ;

-- $\hat{A}$ désigne la mesure de l'angle formé par les tangentes en $A$ aux arcs $\Arc{AB}$ et $\Arc{AC}$.

On rappelle la formule :
\(
\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \hat{A}
\)

\qst On considère les points $A\,\coordsph{1}{1}{1}$ et $B\,\coordsph{0}{\sqrt{3}}{0}$.
\newline
Déterminer une équation de la sphère $(S)$, de centre $O$, passant par $A$.
\newline
Justifier que $B$ appartient à $(S)$.
\newline
Calculer $\cos \angle AOB$ et $\sin \angle AOB$.

\qst Soit $r$ une rotation d'axe $(OB)$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
\\
Déterminer l'image de $(S)$ par $r$ et en déduire que l'image $C$ du point $A$ par $r$ est un point de $(S)$. Quelle est l'image par $r$ de l'arc $\Arc{AB}$ ?
\\
Que peut-on en déduire :
\\
-- pour la mesure d'angle $\hat{B}$ ;
\\
-- pour $a$ et $c$, côtés du triangle sphérique ?
\\
Calculer $b$, $\hat{A}$ et $\hat{C}$.


\newpage


\begin{center}
EXERCICE 2 \textit{(14 points)}
\end{center}

\parindent 0cm

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \ron (unité : 1~cm).\\
Soit $I$ l'inversion de pôle $O$ et de puissance $-9$.

\centerline{\textbf{- A -}}

\numqst{1}
\qst Soit $(\cal C)$ le cercle de diamètre $[A_1A_2]$ avec $A_1\,(-1\,;\,0)$ et $A_2\,(9\,;\,0)$.\\
Déterminer $I(A_1)$ et $I(A_2)$.\\
Montrer que $(\cal C)$ est globalement invariant par $I$.
\qst Soit $(\cal E)$ la conique d'équation $\dfrac{(x-4)^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$.\\
Reconnaître la nature de $(\cal E)$. Préciser l'axe focal et les sommets de cette conique.\\
Déterminer les points d'intersection $C$ et $D$ de $(\cal E)$ avec l'axe des ordonnées.
\qst Représenter $(\cal E)$ et $(\cal C)$ sur un même dessin.

\bigskip
\parindent 0cm

\centerline{\textbf{- B -}}\numqst1
Soit $(\cal K)$ la courbe d'équation polaire $\rho(\theta)=5+4\cos\theta$ dans le repère \ron.
\qst Montrer que pour tracer $(\cal K)$ on peut d'abord se restreindre à prendre~$\theta$ dans l'intervalle 
$[0\,;\,\pi]$.
\qst \'Etudier le sens de variation de $\rho$ sur $[0\,;\,\pi]$.\\
Préciser les tangentes à $(\cal K)$ aux points correspondants à $\theta=0$ et $\theta=\pi$.
\qst Tracer $(\cal K)$ sur le même dessin que $(\cal E)$ et $(\cal C)$.\\
(On placera les points de $(\cal K)$ correspondant à $\theta=\dfrac{\pi}{3}$, $\theta=\dfrac{\pi}{2}$, 
\mbox{$\theta=\dfrac{2\pi}{3}$}).

\bigskip
\parindent 0cm

\centerline{\textbf{- C -}}\numqst1
Soit $M$ un point du plan et $(r\,;\,\theta)$ un couple de coordonnées polaires de ce point.
\qst Donner, en fonction de $r$ et de $\theta$, les coordonnées cartésiennes de $M$.
\qst $M(r\,;\,\theta)$ est maintenant un point de $(\cal E)$.\\
Vérifier que $r$ et $\theta$ sont tels que $[4r\cos\theta+9]^2=25r^2$.
\newline
En déduire que soit $r=r_1(\theta)=\dfrac{-9}{5+4\cos\theta}$, soit $r=r_2(\theta)=\dfrac{9}{5-4\cos\theta}$.\\[1ex]
Dans le premier cas, comment peut-on, géométriquement, traduire la relation de points de $(\cal E)$ et de 
$(\cal K)$ ayant un même angle polaire $\theta$ ?


\end{document}
