\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{pstricks} 
\begin{document}

{\bf

\taille{15}

\begin{center}

BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR

\vskip 1.7 cm

G\'EOM\`ETRE - TOPOGRAPHE

\vskip 1.7 cm

session 2001

\vskip 2.7 cm

\'Epreuve de MATH\'EMATIQUES

\vskip 1 cm

durée : 2 heures
\hfill
coefficient : 2

\vskip 0.7 cm

\hrule

\end{center}

\vskip 10 cm

\taille{12}

\textit{L'usage des instruments de calcul et du formulaire de mathématiques est autorisé.
\\[2ex]
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
}
}

\vfill

GTMAT
\hfill
1/4

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\parskip 4mm

\exer{10 points}
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath)$.

On considère la parabole $\cal P$, représentative de la fonction $f$ définie sur \R par $f(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2$.

On oriente $\cal P$ dans le sens des abscisses croissantes.
 
En chaque point $M$ de $\cal P$, on désigne par $\vec T$ le vecteur unitaire tangent et par $\vec N$ le vecteur unitaire normal.

On rappelle que la base $(\vec T\,,\,\vec N)$ est directe et que le rayon de courbure algébrique $R$, au point de $\cal P$ d'abscisse $x$, est donné par la formule :

\qquad\qquad $R=\dfrac{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}{y''}$ avec $y'=f'(x)$ et $y''=f''(x)$.

\qst Tracer $\cal P$, pour les abscisses appartenant à l'intervalle \intff{-4}{4}, en prenant 2 cm pour unité graphique.

\qst \'Etudier le sens de variation de la fonction $R$.
\\
En déduire le minimum du rayon de courbure et tracer le cercle de courbure correspondant sur le graphique précédent.

\qst On se place désormais au point $A$, d'abscisse 1, de la parabole $\cal P$.

\ssq Déterminer une équation de la tangente et une équation de la normale à $\cal P$ en ce point.
\ssq Montrer que le vecteur $\vec U$, de coordonnées \coordh{\dfrac{-\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}, est unitaire et qu'il est directeur de la normale à $\cal P$ au point $A$.
\ssq On admet que $\vec{N}$ est égal à $\vec{U}$.
\\
Montrer que les coordonnées du centre de courbure $\Omega$ sont \coordh{-1}{\dfrac{5}{2}}.
\ssq Tracer la tangente et la normale à $\cal P$ au point $A$.
\\
Représenter les vecteurs $\vec{T}$ et $\vec{N}$ au point $A$.
\ssq Tracer le cercle de courbure $\cal C$ au point $A$ et montrer qu'une équation cartésienne de $\cal C$ est
\\[1ex]
$x^2+y^2+2x-5y-\dfrac{3}{4}=0$.

\qstssq Montrer que les abscisses des points d'intersection de $\cal P$ et $\cal C$ sont solutions de l'équation
\\[1ex]
$x^4-6x^2+8x-3=0$.

\ssq Vérifier que $x^4-6x^2+8x-3=(x+3)(x-1)^3$.
\\
En déduire que $\cal P$ et $\cal C$ n'ont qu'un seul autre point d'intersection que $A$.


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GTMAT
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\exer{10 points}
L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath\,,\,\vec k)$. (Le schéma ci-dessous met en perspective quelques éléments de l'exercice, sans prétendre en donner une représentation exacte).

\vskip 2cm

\psset{unit=4.5mm}
\begin{pspicture}(-7,-8)(31,11)

\pscircle(5,2){8}
\psline(0,-8)(0,11)\psline(-7,-8)\psline(30,0)
\psline(28,11)\psline(31,-4.5)\psline(25.4,-8)
\psline(22.7,-7.8)(31,-0.5)\psline(23.5,-8)(15,11.5)
\psellipse(5,-0.8)(7.55,1.2)
\psdots(5,2)(10,3.95)(5,-0.8)
\rput(4.7,2.7){$\Omega$}
\rput(29.4,-2.5){$\Delta$}
\rput(16.5,10){$D$}
\rput(-0.6,0.7){$O$}
\rput(-7.3,-7.8){$x$}
\rput(30,0.5){$y$}
\rput(-0.5,11){$z$}
\rput(9.5,4.6){$A$}
\rput(1,-2.7){$E$}
\rput(2,10.1){$S$}

\end{pspicture}


\vskip 2cm

$S$ est la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-4x-4y-2z=0$.

$T$ est la transformation qui, à chaque point $M$ de l'espace, différent de $O$, associe le point $M'$ tel que 
$\Vect O{M'}=\dfrac{54}{OM^2}\,\Vect OM$.


\qst Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $r$ de $S$.
\qstssq En calculant le produit scalaire $\Vect OM.\Vect O{M'}$, montrer que $T$ est une inversion, dont on précisera le pôle et le rapport.
\ssq Le point $A$ est le symétrique de $O$ par rapport à $\Omega$.
\\[1ex]
Calculer les coordonnées de $A'=T(A)$.
\\[1ex]
Déterminer l'inverse, $P$, de la sphère $S$ privée du point $O$, par $T$.
\\[1ex]
Montrer qu'une équation de $P$ est $2x+2y+z-27=0$.

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\qst Soit $D$ la droite dont une représentation paramétrique est :
$$x=2-t\quad ;\quad y=14+2t\quad ;\quad z=-5-2t\quad ;\quad t\in\R.$$

\ssq Montrer que la droite $D$ est incluse dans $P$ et que le point $A'$ appartient à $D$.
\ssq Déterminer l'inverse $C$ de la droite $D$, par $T$.
\ssq Pour tout point $M$ de $D$, de coordonnées $(x\,,\,y\,,\,z)$, on note $(x'\,,\,y'\,,\,z')$ les coordonnées de son  inverse $M'$ par $T$.
\\[1ex]
Montrer qu'une représentation paramétrique de $C$ est :
$$x'=\frac{-6t+12}{t^2+8t+25}\quad ;\quad y'=\frac{12t+84}{t^2+8t+25}\quad ;\quad z'=\frac{-12t-30}{t^2+8t+25}\quad ;\quad t\in\R.$$
\ssq Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $C$ avec le plan $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath)$.
\qst Le plan $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath)$ coupe le plan $P$ suivant la droite $\Delta$ et coupe la sphère $S$ suivant le cercle~$E$.
\ssq Déterminer l'image de $\Delta$ par $T$.
\ssq Montrer que le vecteur de coordonnées $(-1\,;\,1\,;\,0)$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
\ssq En déduire l'angle géométrique $\theta$, appartenant à $\left[ 0\,,\,\frac{\pi}{2}\right]$, des deux courbes $C$ et $E$.


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\end{document}