\documentclass[12pt,annales]{profmath}


\begin{document}

ACAD\'EMIE DE MONTPELLIER\hfill Session 2002

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\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
\rule{0pt}{14pt}
\bf\large BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR
\\\hline
\end{tabular}

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\underline{\bf GEOMETRE TOPOGRAPHE}

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\begin{tabular*}{13.7cm}{|l|c|c|}
\hline
Epreuve :\quad {\bf MATHEMATIQUES}&Durée : 3 Heures&\ \ Coefficient : 2\ \ 
\\\hline
\end{tabular*}

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{\it La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage du formulaire officiel de mathématiques et des instruments de calcul est autorisé.}

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{\bf - \underline{SUJET} -}
\end{center}

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\hrule
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\exer{11 points}
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath)$ (unité : 5 cm).

On considère les droites $(\Delta)$ et $(\Delta')$ d'équations respectives $x=1$ et $x=-1$.

Une droite variable $(D)$ passant par $O$ et de coefficient directeur $t$ ($t\in\R$) coupe $(\Delta)$ en $P$.

La parallèle à $(O;\vec\imath)$ passant par $P$ coupe $(\Delta')$ en $P'$.

\qst Faire une figure qui sera complétée dans les questions suivantes.
\qst Soit $M\,(x;y)$ le projeté orthogonal de $P'$ sur la droite $(D)$.
\ssq Déterminer les coordonnées des vecteurs \Vect OP et \Vect {P'}M.
\ssq En déduire que les coordonnées de $M$ sont données par : 
$x=\frac{t^2-1}{t^2+1}$ et $y=t.\frac{t^2-1}{t^2+1}$.

\qst On désigne par $(C)$ la courbe définie paramétriquement par : $x(t)=\dfrac{t^2-1}{t^2+1}$ 
et $y(t)=t.\dfrac{\strut t^2-1}{\strut t^2+1}$.
\ssq En étudiant la parit\'e des fonctions $x$ et $y$, donner un intervalle d'étude suffisant pour l'étude des variations de $x$ et de $y$ et pour le tracé de $(C)$.
\ssq Vérifier que $$x'(t)=\frac{4t}{(t^2+1)^2} \mbox{\qquad et\qquad}y'(t)=
\frac{(t^2+2-\sqrt5)(t^2+2+\sqrt5)}{(t^2+1)^2}.$$
\ssq \'Etudier les variations des fonctions $x$ et $y$.
\ssq Déterminer les points d'intersection de $(C)$ avec l'axe $(O\,;\,\vec\imath)$ et les équations des tangentes à $(C)$ en ces points.

\qst Tracer la courbe $(C)$ sur la figure du 1°.

\newpage
\exer{9 points}
L'espace est rapporté à un repère orthonormal de sens direct $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath\,,\,\vec k)$.

Sur la sphère $(\Sigma)$ de centre $O$ et de rayon 1, on considère les points :

$N$ de coordonnées cartésiennes (0;\,0;\,1)
\qquad
$S$ de coordonnées cartésiennes (0;\,0;\,$-1$)

$A\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 90° Est}\\
\mbox{latitude 30° Sud}\end{array}\right.$
\hfil
$B\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 0°}\\
\mbox{latitude 0°}\end{array}\right.$

\bigskip
\underline{Rappels :} dans un triangle sphérique ($ABC$), avec les notations usuelles, on a les relations :
\[
\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \hat{A}
\qquad
\mbox{et}
\qquad
\dfrac{\sin \hat{A}}{\sin a}
=
\dfrac{\sin \hat{B}}{\sin b}
=
\dfrac{\sin \hat{C}}{\sin c}.
\]



\qstssq Faire une figure : placer les points $N$, $S$, $A$ et $B$.
\ssq Justifier que les coordonnées cartésiennes de $A$ et de $B$ sont respectivement 
$\left( 0 \,;\, \dfrac{\sqrt3}{2} \,;\, -\dfrac{1}{2} \right)$ et $(1\,;\,0\,;\,0)$.

\qst Déterminer les éléments du triangle sphérique $(SAB)$.

\qst Soit $T$ l'inversion de pôle $N$ et de puissance 4.
\ssq Quelle est l'image de la sphère ($\Sigma$) par l'inversion $T$ ?
\ssq Soient $A'$ et $B'$ les images respectives de $A$ et de $B$ par l'inversion $T$.
\\
En utilisant la relation 
$\Vect {N}{M'} = \dfrac{\strut 4}{\strut NM^2} \Vect NM$,
où $M'$ désigne l'image par $T$ d'un point $M$ quelconque, calculer les coordonnées cartésiennes de $A'$ et de $B'$.
Placer les points $A'$ et~$B'$ sur la figure.

\qstssq En déduire la distance $A'B'$.
\ssq Calculer la différence $d$ entre la distance $A'B'$ et la longueur du petit arc de grand cercle d'extrémités $A$ et $B$.

\qst La Terre est assimilé à la sphère $(\Sigma)$, dont on exprime maintenant le rayon en kilomètres, en prenant $R=6380$ km.\\
Exprimer la différence $d$ en kilomètres, arrondie au km près.


\end{document}