\documentclass[12pt,annales]{profmath}
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\begin{document}

\begin{center}
\bfseries

{\fontsize{16}{1em}\selectfont

BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR\\[12mm]
G\'EOM\`ETRE/TOPOGRAPHE\\[12mm]
session 2003


\vskip 8mm
MATH\'EMATIQUES
\vskip 1cm

{\fontsize{14}{1em}\selectfont
Durée : 2 h\hfill Coefficient : 2}
\vskip 5mm
\hrule
\vskip 1.5cm

\textit{Le sujet comporte deux exercices indépendants\\ qui seront traités sur des copies séparées.}

\vskip 3cm
\rule{2cm}{0.03cm}
\vskip 2cm
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction.\\[1.5cm]
L'usage de la calculatrice est autorisé.

}

\end{center} 

\newpage

\centerline{\exer{10 points}}
\vskip 5mm
\centerline{\textbf{- Partie A -}}
\vskip 1cm
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath)$ (unité graphique sur chaque axe : 4~cm).\\
On considère la courbe paramétrée E d'équations :

\hskip 25mm
$\left\lbrace \begin{array}{l}
x(t)=\cos2t \\ 
y(t)=2\sin2t
\end{array} \right. $

\Qst Faire l'étude de cette courbe paramétrée après avoir justifié que l'intervalle d'étude peut se réduire à 
$\left[0\,;\,\frac{\pi}{2} \right] $.
\Qst Tracer la courbe E.
\Qst Montrer que cette courbe est en fait une ellipse dont on calculera les éléments caractéristiques.

\vskip 5mm
\centerline{\textbf{- Partie B -}}
\setcounter{NumeroQuestion}{0}
\vskip 1cm
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath\,,\,\vec k)$, on considère le cercle C de centre $O$ contenu dans le plan $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath)$ ayant pour rayon le demi grand axe de l'ellipse E.

Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace de coordonnées respectives $(\sqrt2\,;\,\sqrt2\,;\,0)$ et $(\sqrt2\,;\,-\sqrt2\,;\,0)$.

\Qst Soit S la sphère obtenue en faisant tourner C autour de l'axe $(Ox)$.\\ \'Ecrire une équation de la sphère S.
\Qst Montrer que les points $A$ et $B$ appartiennent à la sphère S.
\Qst Soit $N$ le pôle nord de la sphère S. Déterminer les coordonnées sphériques des points $N$, $A$ et $B$.
\Qst Déterminer les 6 éléments caractéristiques du triangle sphérique $NAB$.
\Qst Calculer l'aire du triangle sphérique $NAB$.\\
{\it On rappelle les formules concernant un triangle sphérique $ABC$ :}\\
$\cos a=\cos b.\cos c+\sin b.\sin c.\cos A$\\
${\rm aire}(ABC)=(A+B+C-\pi).R^2$\\
($R$ = rayon de la sphère).

\newpage
\centerline{\exer{10 points}}
\vskip 5mm
L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath\,,\,\vec k)$. Soit 
$K(0\,;\,0\,;\,3)$  et C le cône de révolution d'axe $(O\,;\,\vec k)$ et de demi angle au sommet $\frac{\strut\pi}{4}$.
\Qst Montrer qu'une équation cartésienne de C est $x^2+y^2=(3-z)^2$.
\Qst Soit E l'intersection du cône C et du plan d'équation $z=0$. Donner une équation cartésienne de E, sa nature et ses éléments caractéristiques.
\Qst Soit $\Omega(-3\,;\,0\,;\,0)$ et soit $I$ la transformation de l'espace qui, à tout point $M$ de l'espace, associe le point $M'$ qui vérifie $\Vect {\Omega}{M'}=\frac{6}{\Omega M^2}\,\Vect {\Omega}M$.
\Ssq Donner la nature et les éléments caractéristiques de $I$.
\Ssq Soit $A(3\,;\,0\,;\,0)$ et $B(0\,;\,3\,;\,0)$. Déterminer $A'=I(A)$ et $B'=I(B)$.
\Ssq Soit D la droite de l'espace déterminée par :\\
\hskip 2cm D $\left\lbrace \begin{array}{l}
x=-2 \\ 
z=0
\end{array} \right. $\\
Montrer que l'image de E par I est la droite D.
\Qst Soit $\Delta$ la droite de l'espace de représentation paramétrique \quad
$\Delta$ 
$\left\lbrace \begin{array}{l}
x(t)=-\frac{9}{4}\\ 
y(t)=t\\
z(t)=0
\end{array} \right. $
\Ssq Soit $M(x(t)\,;\,y(t)\,;\,z(t))$ un point de $\Delta$. Soit 
$M'(x'(t)\,;\,y'(t)\,;\,z'(t))$ son image par I. Montrer que :
$x'(t)=\frac{\dfrac{\strut45}{\strut16}-3t^2}{\dfrac{\strut9}{\strut16}+t^2}$ ; 
$y'(t)=\frac{\strut6t}{\dfrac{\strut9}{16}+t^2}$ ; 
$z'(t)=0$.
\Ssq En déduire que l'image de la droite $\Delta$ par I est contenue dans la sphère S, de centre 
$F(1\,;\,0\,;\,0)$ et de rayon 4.


\end{document}