\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\usepackage{array}
\begin{document}

\begin{center}
\bfseries

{\fontsize{16}{1em}\selectfont

\begin{tabular}{|>{\centering}m{\textwidth}|}
\hline
\medskip
BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR
\\[12mm]
G\'EOM\`ETRE/TOPOGRAPHE
\\[12mm]
SESSION 2004
\medskip
\cr
\hline
\end{tabular}

\vskip 8mm
MATH\'EMATIQUES
\vskip 1cm

{\fontsize{14}{1em}\selectfont
Durée : 2 h\hfill Coefficient : 2}
\vskip 5mm
\hrule
\vskip 1.5cm

- SUJET -

}

\vskip 1.5cm
Le sujet comporte deux exercices indépendants\\ qui seront traités sur des copies séparées.\\
L'annexe est à rendre avec la copie.\\[3ex]
Dès remise du sujet, assurez-vous qu'il est complet.

\vskip 3cm
\rule{2cm}{0.03cm}
\vskip 2cm
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction.\\[1.5cm]
L'usage de la calculatrice est autorisé.

\end{center}

\vfill
GTMAT
\hfill
1/5

\newpage

\parskip 1.8mm

\exer{10 points}

\textit{Le but de cet exercice est l'étude d'une courbe plane, appelée lemniscate, que l'on peut rencontrer lors de l'élaboration de certains raccordements routiers.}

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath)$ (unité 5 cm).
On note $C$ la courbe définie en coordonnées polaires par :
\[
r = f(\theta) = \sqrt{\sin(2\theta)}
\quad\text{ pour }\quad
\theta  \in \intff{0}{\dfrac{\pi}{2}} \cup \intff{\pi}{\dfrac{3\pi}{2}}.
\]

\qst Soit $\theta$ un réel de l'intervalle $\intff{0}{\dfrac{\pi}{2}}$.
\ssq A quel intervalle $\theta+\pi$ appartient-il ?
\ssq Calculer $f(\theta+\pi)$ en fonction de $f(\theta)$ ; en déduire une propriété de symétrie de la courbe $C$.

\qst Soit $\theta$ un réel de l'intervalle $\intff{0}{\dfrac{\pi}{4}}$.
\ssq A quel intervalle $\dfrac{\pi}{2}-\theta$ appartient-il ?
\ssq Calculer $f\left( \dfrac{\pi}{2}-\theta \right)$ en fonction de $f(\theta)$ ; en déduire une propriété de symétrie de la courbe $C$.

\qst Soit $C_1$ l'arc de courbe obtenu pour $\theta  \in \intff{0}{\dfrac{\pi}{4}}$.
Comment obtient-on $C$ à partir de~$C_1$ ?

\qst Montrer que pour tout $\theta$ appartenant à $\intof{0}{\dfrac{\pi}{4}}$, 
$r' = f'(\theta) = \dfrac{\cos 2\theta}{\sqrt{\sin 2\theta}}$.

\qst \'Etudier le signe de $f'(\theta)$ sur \intof{0}{\dfrac{\pi}{4}}.
En déduire les variations de $f$ pour $\theta  \in \intff{0}{\dfrac{\pi}{4}}$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur ce dernier intervalle.

\qst On pose, pour tout $\theta  \in \intof{0}{\dfrac{\pi}{4}}$, $x=r\cos \theta$ et $y=r\sin\theta$.
Montrer que :
\[
x'=\dfrac{\cos 3\theta}{\sqrt{\sin2\theta}}
\quad
\text{et}
\quad
y'=\dfrac{\sin 3\theta}{\sqrt{\sin2\theta}}.
\]

\qst Déterminer un vecteur directeur de chacune des deux tangentes suivantes à la courbe $C$, l'une au point $A$ de paramètre $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ et l'autre au point $B$ de paramètre $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.

\qst Calculer
$\lim_{\theta \mapsto0} \dfrac{y'}{\strut x'}$.
On admet que cette limite est le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point~$O$.
Caractériser la tangente à $C$ au point $O$.

\qst Tracer soigneusement la courbe $C$, ainsi que les tangentes aux points $O$, $A$, $B$.

\qst On admet que le rayon de courbure au point $B$ vaut $\dfrac{1}{3}$. Déterminer un vecteur directeur $\vec{n}$ de la normale au point $B$. Sur la même figure, construire le cercle de courbure en $B$.


\parindent0cm

\vfil
GTMAT
\hfill
2/5

\newpage


\exer{10 points}

L'espace est rapporté au repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec\imath\,,\,\vec\jmath\,,\,\vec k)$.
Les axes de coordonnées sont les axes $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$. Les plans de coordonnées sont les plans $(Oxy)$, $(Oxz)$ et $(Oyz)$. La notation $M(x,\,y,\,z)$ désigne le point $M$ de coordonnées $x$, $y$ et $z$. 

\textit{La figure sera construite et complétée sur l'annexe au fur et à mesure de l'avancement des questions.}

Soit $\Delta$ la droite incluse dans le plan $(Oyz)$, d'équations 
$\left\{
\begin{array}{l}
x=0
\\
12y-5z=0
\end{array}
\right.$

Soit $\Sigma$ la sphère de centre $\Omega (0,\,3,\,2)$, tangente en $T (0,\,3,\,0)$ au plan $(Oxy)$.

\qstssq Montrer que la sphère $\Sigma$ a pour équation : $x^2+y^2+z^2-6y-4z+9=0$.
\ssq Montrer que la droite $\Delta$ et la sphère $\Sigma$ ont pour unique point commun 
$A \left( 0,\,\dfrac{15}{13},\,\dfrac{36}{13} \right)$.\\
En déduire la position de la droite $\Delta$ par rapport à la sphère $\Sigma$.

\qst Soit $(P)$ le plan perpendiculaire au point $A$ à la droite $\Delta$.
\ssq Montrer que $(P)$ a pour équation 
$5y+12z-39 = 0$.
\ssq On note $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$ les droites intersections respectives de $(P)$ avec les plans $(Oyz)$, $(Oxz)$ et $(Oxy)$. Déduire de la question a) un système d'équations cartésiennes de chacune des droites 
$\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$.
\ssq Compléter la figure donnée en annexe. En particulier, on reconnaîtra et on nommera les droites $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$.

\qst Soit $B$ le point de la sphère $\Sigma$, diamétralement opposé à $T$.\\
On note $T'$ le point de coordonnées $(3,\,0,\,0)$
\ssq Déterminer les coordonnées de $B$ et placer ce point sur la figure en annexe.
\ssq \'Ecrire une équation du plan $(P')$ déterminé par les droites $(TB)$ et $(TT')$.
\ssq Montrer que les plans $(P)$ et $(P')$ sont sécants suivant une droite $(D)$ d'équations paramétriques :
$\left\{
\begin{array}{l}
x = 12t
\\
y = -12t+3 \qquad (t \in \R)
\\
z = 5t+2.
\end{array}
\right.
$

\ssq Déterminer les coordonnées du point $I$, intersection de $(D)$ avec le plan $(Oxz)$.

\vfill
GTMAT
\hfill
3/5

\newpage

\qst Soit $\Gamma_1$ le grand cercle intersection du plan $(P)$ et de la sphère $\Sigma$.
Soit $\Gamma_2$ le grand cercle intersection du plan $(P')$ et de la sphère $\Sigma$.
Les deux grands cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se coupent en deux points. On note~$C$ le point d'abscisse positive. On obtient ainsi un triangle sphérique $ABC$ tracé sur la sphère $\Sigma$.

\ssq Compléter la figure donnée en annexe ; reconnaître et nommer $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$.
\\
Avec les notations habituelles, on rappelle les \og formules fondamentales \fg :

\hskip 25mm
$
\left\{
\begin{array}{l}
\cos a = \cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \hat{A}
\\
\cos \hat{A}=-\cos \hat{B}\cos \hat{C}+\sin \hat{B}\sin \hat{C}\cos a
\end{array}
\right.
$

\ssq Montrer que le triangle sphérique $ABC$ est rectangle en $A$.
Calculer le produit scalaire \prosc{\Omega}{A}{\Omega}{B}.
En déduire une valeur approchée de la mesure en degrés de l'angle géométrique
\angle {A}{\Omega}{B}.

\ssq Nommer deux plans de la figure déterminant l'angle $\hat{B}$ du triangle sphérique $ABC$.

\ssq En déduire que sa mesure est 45°.
Calculer des valeurs approchées de $\hat{C}$, $b$, $a$.


\vfill
GTMAT
\hfill
4/5

\newpage

\hfill
\textbf{- ANNEXE à rendre avec la copie -}

\begin{center}

\bigskip
\underline{Figure de l'exercice 2}

\bigskip\bigskip

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(7,7)
\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-3.9,-3.9)(4.9,4.9)
\psdots(3,2)(3,0)(1.15,2.77)
\rput(3,-0.4){$T$}
\rput(1.1,3.1){$A$}
\rput(3,2.4){$\Omega$}
\pscircle(3,2){2}
\rput(5.1,0){$y$}
\rput(0,5.2){$z$}
\rput(-1.7,-1.7){$x$}
\psline{->}(1.5,1.5)(-1.5,-1.5)
\psline(0,3.25)(7.8,0)(4.55,-3.25)(-3.25,0)(0,3.25)
% \psEllipse[linestyle=dotted](3,2)(2,1){0}{180}{-22.62}
% \psEllipse(3,2)(2,1){-180}{0}{-22.62}
\rput{-22.62}(3,2){\parametricplot[algebraic=true]{0}{-3.14}{2*cos(t)|1*sin(t)}}
\rput{-22.62}(3,2){\parametricplot[algebraic=true,linestyle=dotted]{0}{3.14}{2*cos(t)|1*sin(t)}}
\multirput(-1.3,-1.3)(0.322,0.322){9}{\psline(-0.05,0.05)(0.05,-0.05)}
\end{pspicture*}

\end{center}


\vfill
GTMAT
\hfill
5/5


\end{document}