\documentclass[12pt,annales]{profmath}
%\marges{2cm}{2cm}{2cm}{2cm}

\usepackage{array}

\begin{document}

\begin{center}
\bfseries

{\fontsize{16}{1em}\selectfont

\begin{tabular}{|>{\centering}m{\textwidth}|}
\hline
\medskip
BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR
\\[12mm]
G\'EOM\`ETRE/TOPOGRAPHE
\\[12mm]
SESSION 2005
\medskip
\cr
\hline
\end{tabular}

\vskip 8mm
MATH\'EMATIQUES
\vskip 1cm

{\fontsize{14}{1em}\selectfont
Durée : 2 h\hfill Coefficient : 2}
\vskip 5mm
\hrule
\vskip 1.5cm

- SUJET -

}

\vskip 1.5cm
Le sujet comporte deux exercices indépendants\\ qui seront traités sur des copies séparées.\\[3ex]
Dès remise du sujet, assurez-vous qu'il est complet.

\vskip 3cm
\rule{2cm}{0.03cm}
\vskip 2cm
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction.\\[1.5cm]
L'usage de la calculatrice est autorisé.

\end{center}

\vfill
GTMAT
\hfill
1/3

\newpage







\parskip 3mm


\numqst1
\begin{center}
\underline{\textbf{EXERCICE 1} \textit{(8 points)}}
\end{center}
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij d'unité graphique 2 cm. On considère la courbe $\cal C$ définie par son équation polaire :
\[
r = f(\theta) = 2 \cos \theta - \cos^2 \theta
\quad
(\theta \in \R).
\]

\qst Montrer que l'on peut restreindre l'étude des variations de la fonction $f$ à l'intervalle
\intff{0}{\pi}.

\qst \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur \intff{0}{\pi} et dresser son tableau de variations.

\qst On note $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ les points de la courbe $\cal C$ correspondant aux valeurs suivantes de~$\theta$~:
0, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{4}$ et $\pi$.
\\
Recopier et compléter le tableau suivant (en indiquant les valeurs exactes) :

\begin{displaymath}
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline
\text{\textbf{Point}} & \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} & \boldsymbol{E} \\\hline
\theta & 0 & \dfrac{\strut\pi}{\strut4} & \dfrac{\pi}{2} & \dfrac{3\pi}{4} & \pi \\\hline
\rule{0em}{3ex} r=f(\theta) & × & × & × & × & × \\\hline
\rule{0em}{3ex} r'=f'(\theta) & × & × & × & × & ×
\\\hline
\end{array}
\end{displaymath}

\decalqst
Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\cal C$ aux points $A$, $C$ et $E$.

\qst Représenter les cinq points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ avec leurs tangentes respectives puis tracer la courbe $\cal C$.

\numqst1
\begin{center}
\underline{\textbf{EXERCICE 2} \textit{(12 points)}}
\end{center}

\textbf{PARTIE A : \'ETUDE D'UNE INVERSION}

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk et on considère l'inversion~$I$ de pôle 
$\Omega \, \left( \dfrac{3}{\sqrt{2}} \,;\, \dfrac{3}{\sqrt{2}} \,;\, 0 \right)$ et de puissance 3. L'unité de longueur est le cm.

\qst Donner une équation cartésienne de la sphère $\cal S$ de centre $O$ et de rayon 3.

\qst Déterminer la nature de l'image $\cal P$ de la sphère $\cal S$ par l'inversion $I$.

\qst Donner une équation cartésienne de $\cal P$.


\vfill
GTMAT
\hfill
2/3

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\numqst1
\textbf{PARTIE B : TRIGONOM\'ETRIE SPH\'ERIQUE}

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.5)(5.5,5)
\psline{<->}(0,4.5)(0,0)(4.5,0)
\psline{->}(-3,-3)
\psline{-}(1.6,1.6)(0,0)(1.9,-0.5)
\psarc{-}{2.8}{0}{180}
\psarc[linestyle=dashed]{-}{2.8}{-180}{0}
\psarc{->}{0.3}{-135}{-30}
\rput(0.1,-0.5){$\theta$}
\psarc{->}{0.7}{-20}{45}
\rput(1,0.5){$\varphi$}
\psline[linewidth=0.08]{->}(0,1)
\psline[linewidth=0.08]{->}(1,0)
\psline[linewidth=0.07]{->}(-0.7,-0.7)
\psEllipse(0,0)(2.8,1){-180}{0}{0}
\psEllipse[linestyle=dashed](0,0)(2.8,1){0}{180}{0}
\psEllipse(0,0)(1.9,2.8){-10}{90}{0}
\psEllipse(0,0)(1,2.8){90}{200}{0}
\rput(-3.2,-3.2){$x$}
\rput(4.7,0){$y$}
\rput(-0.4,4.5){$z$}
\rput(-0.3,0.3){$O$}
\rput(1.1,1.3){$r$}
\rput(-0.8,-0.3){$\boldsymbol{\vec{\imath}}$}
\rput(1,-0.2){$\boldsymbol{\vec{\jmath}}$}
\rput(-0.4,1){$\boldsymbol{\vec{k}}$}
\rput(2,-1){$m$}
\rput(1.7,2){$M$}
\end{pspicture}

\end{center}


On rappelle que les coordonnées sphériques d'un point $M$ appartenant à la sphère de rayon $r$ et n'appartenant pas à l'axe $(O,\vec{k})$ sont données sous la forme d'un triplet 
$(r,\theta,\varphi)$ où :
\[
r = OM
\qquad
\theta = \widehat{(\vec{\imath},{\Vect Om})}
\qquad
\varphi = \widehat{(\Vect Om,\Vect OM)}.
\]
On considère les points $A$, $B$, $C$ de l'espace dont les coordonnées sphériques sont :
\[
A \left( 3\,;\,0\,;\,\dfrac{\pi}{4} \right)
\qquad
B \left( 3\,;\,\dfrac{\pi}{2}\,;\,0 \right)
\qquad
C \left( 3\,;\,0\,;\,0 \right)
\]

\qst Déterminer les caractéristiques du triangle sphérique $ABC$.

\qst Calculer l'aire du triangle sphérique $ABC$.

\qst Déterminer les coordonnées cartésiennes de $A$, $B$ et $C$.

\qst On note $A'$, $B'$ et $C'$ les images respectives des points de $A$, $B$ et $C$ par l'inversion $I$.
\ssq Calculer les coordonnées cartésiennes de $A'$.
\ssq 
\begin{tabular}[t]{ll}
On donne	&	$x_{B'} = \sqrt{2} - \dfrac{1}{2}$ \quad et \quad $y_{B'} = \dfrac{1+3\sqrt{2}}{2}$
\\[2ex]
		&	$x_{C'} = \dfrac{1+3\sqrt{2}}{2}$ \quad et \quad $y_{C'} = \sqrt{2} - \dfrac{1}{2}$.
\end{tabular}
\\[1ex]
Indiquer les cotes des points $B'$ et $C'$ en justifiant la réponse.

\qst Représenter graphiquement la sphère $\cal S$ et les points
$A$, $B$, $C$, $\Omega$, $A'$, $B'$ et $C'$.

\vfill
GTMAT
\hfill
3/3


\end{document}