\documentclass[12pt,annales]{profmath}
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\begin{document}

\begin{center}
\bfseries

{\fontsize{16}{1em}\selectfont

\begin{tabular}{|>{\centering}m{\textwidth}|}
\hline
\medskip
BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR
\\[12mm]
G\'EOM\`ETRE/TOPOGRAPHE
\\[12mm]
SESSION 2006
\medskip
\cr
\hline
\end{tabular}

\vskip 8mm
MATH\'EMATIQUES
\vskip 1cm

{\fontsize{14}{1em}\selectfont
Durée : 2 h\hfill Coefficient : 2}
\vskip 5mm
\hrule
\vskip 1.5cm

- SUJET -

}

\vskip 1.5cm
Le sujet comporte deux exercices indépendants\\ qui seront traités sur des copies séparées.\\[3ex]
%Dès remise du sujet, assurez-vous qu'il est complet.

\vskip 3cm
\rule{2cm}{0.03cm}
\vskip 2cm
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction.\\[1.5cm]
L'usage de la calculatrice est autorisé.

\end{center}

\vfill
GTMAT
\hfill
1/3

\newpage

\parskip 3mm

\numqst1
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 \qquad \textit{(10 points)}}
\end{center}

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij d'unité 1 cm.

Soit $(C)$ la courbe d'équation polaire :
\(
r (\theta) = \dfrac{6}{2+\cos\theta}
\quad
(\theta \in \R).
\)

\qst Montrer que, pour tracer la courbe $(C)$, il suffit de la tracer sur \intff{0}{\pi}.

\qst Soit $M$ un point de coordonnées polaires $(r\,;\,\theta)$.
Donner, en fonction de $r$ et de $\theta$, ses coordonnées cartésiennes 

\qst Montrer que si $M$, de coordonnées cartésiennes $(x\,,\,y)$, appartient à $(C)$, alors :\\
$\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$.
\\
\textit{On admettra la réciproque.}

\qst Reconnaître la nature de la conique d'équation $\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$.
Préciser l'axe focal, les foyers et les sommets de cette conique.

\qst Tracer soigneusement la courbe $(C)$ pour $\theta \in  \intff{0}{\pi}$.
Expliquer comment obtenir le tracé de $(C)$ pour $\theta \in \R$.
Tracer $(C)$.

\qst Soit $A$ le point de $(C)$ défini par $\theta=0$. Montrer que le rayon de courbure au point $A$ vaut~3. On rappelle que
$R = \dfrac{(r^2+r'^2)^{3/2}}{r^2+2r'^2-rr''}$.

\qst Déterminer une équation cartésienne du cercle de courbure au point $A$.


\vfill
GTMAT
\hfill
2/3

\newpage

\numqst1
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 \textit{(10 points)}}
\end{center}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
\\
Sur la sphère $(S)$ de centre $O$ et de rayon 1, on considère les points $A$, $B$, $C$ de coordonnées :

$A\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 0°}\\
\mbox{latitude 45° Nord}\end{array}\right.$
\hfil
$B\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 90° Est}\\
\mbox{latitude 0°}\end{array}\right.$
\hfil
$C\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 90° Est}\\
\mbox{latitude 60° Nord}\end{array}\right.$

\medskip
\qst Faire une figure.

\qst Déterminer les coordonnées cartésiennes des  points $A$, $B$ et $C$.

\qst Calculer les longueurs des côtés du triangle sphérique $(ABC)$.

\qst Soit $I$ l'inversion de pôle $B$ et de puissance 2.
\ssq Déterminer l'image de la sphère, privée du point $B$, par l'inversion $I$.
\ssq Déterminer les coordonnées cartésiennes des points $A'$ et $C'$, images respectives des points $A$ et $C$ par l'inversion $I$.

\qst Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(OAB)$ est $z=x$.

\qst On désigne par $(\Gamma)$ la courbe définie paramétriquement par :

\qquad\qquad
$
\left\{
\begin{array}{l}
x(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t
\\
y(t) = \sin t
\\
z(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t
\end{array}
\right.
$

\ssq Montrer que $(\Gamma)$ est contenue dans le plan $(OAB)$.

\ssq Montrer que $(\Gamma)$ est contenue dans la sphère $(S)$.

\ssq En déduire que, si $M$ est un point appartenant à $(\Gamma)$, alors il appartient à un cercle $(\cal C)$ que l'on caractérisera.

\ssq On admet que $(\Gamma)$ et $(\cal C)$ sont confondus. Déterminer l'image de la courbe $(\Gamma)$ privée du point $B$ par l'inversion $I$.


\end{document}