\documentclass[12pt,annales]{profmath}
% \usepackage{amsmath,geometry,pst-3d}
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\begin{document}

\begin{center}
\bfseries

{\fontsize{16}{1em}\selectfont

BREVET DE TECHNICIEN SUP\'ERIEUR\\[12mm]
G\'EOM\`ETRE/TOPOGRAPHE\\[12mm]
session 2007


\vskip 8mm
MATH\'EMATIQUES
\vskip 1cm

{\fontsize{14}{1em}\selectfont
Durée : 2 h\hfill Coefficient : 2}
\vskip 5mm
\hrule
\vskip 1.5cm

\textit{Le sujet comporte deux exercices indépendants\\ qui seront traités sur des copies séparées.}

\vskip 3cm
\rule{2cm}{0.03cm}
\vskip 2cm
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction.\\[1.5cm]
L'usage de la calculatrice est autorisé.

}

\end{center}


\vfill
GTMAT
\hfill
1/3


\newpage

\exer{11 points}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
$(\Sigma)$ est la sphère de centre $O$, de rayon 2.
Tout point de $(\Sigma)$ est repère par sa longitude $\theta$ et sa latitude $\varphi$ (en radians).

\begin{center}
% figure codée avec les pieds ...
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.2)(3,3.5)
\pscircle{2}
\psline{<->}(0,3)(0,0)(3,0)
\psline{->}(3;-140)
\uput[-140](3;-140){$x$}
\uput[0](3,0){$y$}
\uput[90](0,3){$z$}
\uput[135](0,0){$O$}
\uput[-90](1;-91.7){$\theta$}
\uput[10](1;10){$\varphi$}
\uput[90]{30}(0.433,0.5){$r$}
\uput[30](0.866,1){$M$}
\parametricplot[linestyle=dotted,algebraic]{-3.14}{0}{2*cos(t)|sin(t)}
\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-2.1}{-1.1}{2*cos(t)|sin(t)}
\parametricplot[linestyle=dotted,algebraic]{-1.57}{1.57}{cos(t)|2*sin(t)}
\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-0.5}{0.5}{cos(t)|2*sin(t)}
\psline[linestyle=dotted](0.866,1)(0,0)(0.9,-0.9)
\end{pspicture}
\end{center}



\qst Soit $M$ un point de $(\Sigma)$. \'Ecrire les coordonnées cartésiennes de $M$ en fonction de $\theta$ et de $\varphi$.
\qst Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.
\qst Donner une équation cartésienne de la sphère $(\Sigma)$.

\qst On considère les points $A$ et $B$ dont on donne les coordonnées cartésiennes :
\newline
$A\coordsph{\sqrt{2}}{0}{\sqrt{2}}$
et
$B\coordsph{0}{2}{0}$.
\newline
Montrer que $A$ et $B$ sont deux points de $(\Sigma)$.

\qst On considère le point $C$ de $(\Sigma)$ défini par $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ et $\varphi=0$.
\ssq Déterminer les coordonnées cartésiennes de $C$.
\ssq Calculer les produits scalaires
$\prosc OBOC$, \quad $\prosc OAOC$, \quad $\prosc OAOB$.
\newline
En déduire les valeurs exactes de $\cos a$, $\cos b$ et $\cos c$ où
\newline
$a=\text{mes }\widehat{BOC}$,\qquad
$b=\text{mes }\widehat{AOC}$,\qquad
$c=\text{mes }\widehat{AOB}$,\qquad
\newline
puis celles de $\sin a$, $\sin b$ et $\sin c$.

\ssq Déterminer les dernières caractéristiques du triangle sphèrique $ABC$.
\ssq Calculer, à $10^{-3}$ près, l'aire du triangle sphèrique $ABC$.


\vfill
GTMAT
\hfill
2/3



\newpage

\qst Soit $N$ le pôle nord de la sphère $(\Sigma)$.
Soit $I$ l'inversion de pôle $N$ et de puissance 8.
\ssq Quelle est l'image de $(\Sigma)$, privée du point $N$, par l'inversion $I$ ? En donner une équation.
\ssq Déterminer les coordonnées cartésiennes des points $A'$, $B'$ et $C'$, images respectives des points $A$, $B$ et $C$ par l'inversion $I$.
\ssq Calculer les distances $A'B'$, $A'C'$ et $B'C'$.


\bigskip\bigskip

\exer{9 points}

La représentation paramétrique d'une courbe $C$ est donnée par :

\hskip 25mm
\(
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x(t)=\sin(t) \\ 
y(t)=\sin(2t)
\end{array}
\right.
\qquad
,
\quad
t \in \intff{-\pi}{\pi}
\)

\qst \'Etudier la parité des fonctions $x$ et $y$ ; en déduire une symétrie de la courbe. \`A quel intervalle peut-on restreindre l'étude ?

\qst Calculer $x(\pi-t)$ et $y(\pi-t)$ ; en déduire une nouvelle symétrie de la courbe.

\qst \'Etudier les variations des fonctions $x$ et $y$ sur \intff{0}{\dfrac{\pi}{2}} et dresser le tableau des variations.

\qst On note $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ les points de $C$ de paramètres respectifs 
0, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{2}$.
\\
Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{6}{>{\centering $}p{2cm}<{$}|}}\hline
\text{\textbf{Point}} & \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} & \boldsymbol{E} \cr\hline
\rule[-3ex]{0em}{7ex} t & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \cr\hline
\rule{0em}{3ex} x(t) &  &  &  &  &  \cr\hline
\rule{0em}{3ex} y(t) &  &  &  &  &  \cr\hline
\rule{0em}{3ex} x'(t) &  &  &  &  &  \cr\hline
\rule{0em}{3ex} y'(t) &  &  &  &  &  \cr\hline
\end{tabular}
\end{center}

\qst Dans un repère orthonormal (unité graphique : 4 cm), représenter les 5 points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ avec les tangentes aux points  $A$, $C$, $E$ puis tracer la courbe $C$.

\qst En utilisant le fait que, pour tout réel $t$, $\sin(2t)=2\sin(t)\cos(t)$, résoudre l'équation $\sin(t)=\sin(2t)$.
En déduire les coordonnées des points de la courbe situés sur la droite d'équation $y=x$.


\vfill
GTMAT
\hfill
3/3


\end{document}