\documentclass[12pt,annales]{profmath}

\begin{document}

\titre{BTS Géomètre Topographe - Session 2008}

\bigskip

\begin{exercice}[11 points]

On rappelle la formule fondamentale de trigonométrie sphérique :
\[
\cos a = \cos b. \cos c + \sin b. \sin c. \cos \hat{A}
\]
L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \Oijk.
\newline
Sur la sphère $(\Sigma)$ de centre $O$ et de rayon 1, on considère les points $N$, $S$, $A$ et $B$ de 
coordonnées :

\newcommand{\longitude}[2]{\mbox{longitude : }#1°\ \mbox{#2}}
\newcommand{\latitude}[2]{\mbox{latitude : }#1°\ \mbox{#2}}

\begin{footnotesize}
\[
N
\left \lbrace
\begin{array}{l}
	\longitude{0}{}
	\\
	\latitude{90}{Nord}
\end{array}
\right .
\quad
S
\left \lbrace
\begin{array}{l}
	\longitude{0}{}
	\\
	\latitude{90}{Sud}
\end{array}
\right .
\quad
A
\left \lbrace
\begin{array}{l}
	\longitude{90}{Est}
	\\
	\latitude{0}{}
\end{array}
\right .
\quad
B
\left \lbrace
\begin{array}{l}
	\longitude{45}{Est}
	\\
	\latitude{30}{Nord}
\end{array}
\right .
\]
\end{footnotesize}

\qst Placer ces points sur la figure donnée \textbf{en annexe}.

\qst Déterminer, par lecture directe ou par calcul, les longueurs des côtés du triangle 
sphérique $ABS$.

\qst Déterminer les coordonnées cartésiennes de $N$, $S$ et $A$.
\newline
Montrer que $B \coordsph
{\dfrac{\sqrt{6}}{4}}
{\dfrac{\sqrt{6}}{4}}
{\dfrac{1}{2}}
$.

\qst \textit{On rappelle que si le point $M'$ est l'image du point $M$ dans une inversion 
de centre~$\Omega$ et de rapport $k$, on a :
$
\Vect {\Omega}{M'} = \dfrac{k}{\Omega M^2}\Vect {\Omega}{M}
$.}
\newline
On considère l'inversion $I$ de pôle $N$ et de puissance 4.
\newline
Quelle est l'image $(P)$ de la sphère $(\Sigma)$ privée de $N$ par l'inversion $I$ ? Justifier. 
\newline
Préciser une équation de $(P)$.

\qst Soit $E$ le point de coordonnées $E\,\coordsph{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}{-1}$. 
\ssq Placer $E$ sur la figure.
\ssq Calculer le produit scalaire $\prosc NBNE$.
\ssq Montrer que $E$ est l'image de $B$ par l'inversion $I$.

\qst  $A$, $B$ et $S$ définissent un cercle $(C)$ dans l'espace. Soit $A'= I(A)$.
\ssq Placer $A'$. Par lecture sur la figure donner les coordonnées du point $A'$.
\ssq Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{n} = \prov SASB$. 
\newline
En déduire une équation du plan $(ABS)$.
\ssq Montrer que tous les points de $(C)$ sont sur $(\Sigma)$.

\end{exercice}

\vfill\hfill
2/5
\newpage


\begin{exercice}[9 points]

\textit{Le but de cet exercice est l'étude de raccordements routiers de deux sections rectilignes 
par une section circulaire ou du quatrième degré.}

Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, \textbf{la figure en fin
d'énoncé} schématise les différents raccordements de la section rectiligne $[AB]$ avec la section rectiligne $[EF]$.
\begin{itemize}
\item $(Oy)$ est axe de symétrie de la figure.
\item $C_1$ représente le raccordement circulaire.
\item $C_2$ représente le raccordement du quatrième degré.
\item Les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A\, \coordh{- \dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}}$ et $B \, \coordh{-1}{1}$.
\end{itemize}

\partieexo[Sections rectilignes]

Les segments $[AB]$ et $[FE]$ sont donc symétriques par rapport à $(Oy)$.
\qst Déterminer les coordonnées des points $E$ et $F$.
\qst Calculer les coordonnées des vecteurs $\Vect AB$ et $\Vect EF$. Montrer qu'ils sont orthogonaux. 
\qst Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$. En déduire celle de $(EF)$.

\partieexo[Raccordement circulaire $\boldsymbol{C_1}$]

$C_1$ passe par les points $B$ et $E$ et la droite $(AB)$ est tangente à l'arc de cercle $C_1$. 
\qst Justifier que le centre $\Omega_1$ de l'arc de cercle $C_1$ est un point de l'axe $(Oy)$.
\qst Calculer les coordonnées de $\Omega_1$.
\qst Vérifier qu'une équation cartésienne du cercle support de $C_1$ est : $x^2 + (y - 2)^2 = 2$.
\qst \textit{La courbure en un point quelconque du segment $[AB]$ est nulle.}\newline
Déterminer la courbure en un point quelconque de l'arc de cercle $C_1$.\newline
\textit{On rappelle que la \underline{courbure} est l'inverse du \underline{rayon de courbure}.}

\partieexo[Raccordement du quatrième degré.]

\textit{Le raccordement circulaire précédent créerait une rupture brutale de courbure en $B$ comme en $E$. 
Le but est donc de créer un raccordement ne présentant pas cet inconvénient.}

\medskip
La courbe $C_2$ est définie par l'équation $y = f (x)$.

\qst Justifier que $f (1)=1$ et $f'(1)=1$.

\qst \textit{On rappelle que la courbure en un point d'abscisse $x_0$ d'une courbe définie par l'équation 
$y=f(x)$ est : 
$
\dfrac{1}{R}
=
\dfrac{f''(x_0)}
{
\left [
1+ \left ( f'(x_0) \right )^2
\right ]^{\frac{3}{2}}
}
$.}
\newline
Pour quelle raison veut-on que $f ''(1) = 0$ ?

\vfill\hfill
3/5
\newpage

\qst On admet, à partir de maintenant, que $f (x) = ax^4 + bx^2 + c$.
\newline
Montrer que $f (-x) = f (x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.

\qst Exprimer $f (1)$, $f'(1)$ et $f ''(1)$ en fonction des coefficients $a$, $b$ et $c$.

\qst Résoudre le système 
$
\begin{systeme}
a+b+c=1
\\
4a + 2b =1
\\
12a+2b=0
\end{systeme}
$.

\qst Montrer que
$f(x) = \dfrac{-x^4+6x^2+3}{\strut 8}$.
\newline
Calculer la courbure au point $K$ de la courbe $C_2$ d'abscisse 0.
\newline
En déduire le rayon de courbure en $K$ puis les coordonnées du centre de courbure $\Omega_2$.


\vskip 2cm

\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.9,-0.3)(1.9,2.3)
	\psframe(-1.9,-0.3)(1.9,2.3)
	\psaxes{->}(0,0)(-1.9,-0.3)(1.9,2.3)
	\psline(-1.5,1.5)(-1,1)
	\psline(1.5,1.5)(1,1)
	\uput[135](1.9,0){$x$}
	\uput[0](0,2.2){$y$}
	\uput[90](-1.5,1.5){$A$}
	\uput[45](-1,1){$B$}
	\uput[135](1,1){$E$}
	\uput[90](1.5,1.5){$F$}
	\uput[135](0,0.375){$K$}
	\uput[90](0.2,0.59){$C_1$}
	\uput[-90](0.2,0.375){$C_2$}
	\psarc(0,2){1.414}{-135}{-45}
	\psplot[algebraic]{-1}{1}{(-x^4+6*x^2+3)/8}
\end{pspicture}

\end{exercice}

\vfill\hfill
4/5
\newpage


\begin{center}
\textbf{- ANNEXE à rendre avec la copie -}
\end{center}

\underline{Figure de l'exercice 1 :}

\bigskip

\psset{unit=0.72cm}
\begin{pspicture}(-11.9,-8.3)(11.9,5.3)
	\psline{->}(4,0)
	\psline{->}(0,4)
	\psline{->}(-1,-1)
	\pscircle{4}
	\uput[135](-0.5,-0.5){\footnotesize $\vec{\imath}$}
	\uput[90](2,0){\footnotesize $\vec{\jmath}$}
	\uput[180](0,2){\footnotesize $\vec{k}$}
	\uput[135](4;135){\footnotesize $(\Sigma)$}
	\uput[135](0,0){\footnotesize $	O$}
	\psellipse(0,0)(4,1)
	\psgrid[griddots=1, subgriddiv=0, gridlabels=0pt](-11,-8)(11,5)
\end{pspicture}

\vfill\hfill
5 /5



\end{document}
