\documentclass[11pt,annales]{profmath}

\begin{document}

\begin{exercice}[8 points]

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.2)(3,3.5)
\pscircle{2}
\psline{<->}(0,3)(0,0)(3,0)
\psline{->}(3;-140)
\uput[-140](3;-140){$x$}
\uput[0](3,0){$y$}
\uput[90](0,3){$z$}
\uput[135](0,0){$O$}
\uput[-86.5](0.3;-86.5){$\theta$}
\uput[15](0.4;15){$\varphi$}
\uput[45](1.414,1.414){$(\Sigma)$}
\uput[30](0.866,1){$M$}
%\parametricplot[linestyle=dotted,algebraic]{-3.14}{0}{2*cos(t)|sin(t)}
\psellipse(0,0)(2,0.7)
%\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-2.1}{-0.576}{1*cos(t)|0.5*sin(t)}
\psarc{->}(0,0){0.3}{-140}{-33}
\parametricplot[algebraic]{-1.57}{1.57}{cos(t)|2*sin(t)}
%\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-0.5}{0.5}{cos(t)|2*sin(t)}
\psarc{->}(0,0){0.4}{-33}{49.1}
\psline[linestyle=dotted](0.866,1)(0,0)(0.95,-0.62)
\end{pspicture}
\end{center}






L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.

$(\Sigma)$ est la sphère de centre $O$ et de rayon 1.

Tout point de $(\Sigma)$ est repéré par le couple \coordh{\theta}{\varphi} où $\theta$ est sa longitude et $\varphi$ sa latitude (en radians). On considère sur $(\Sigma)$ les points

$I\coordh{0}{0}$
\quad,\quad
$J\coordh{\dfrac{\pi}{2}}{0}$
\quad,\quad
$K\coordh{0}{\dfrac{\pi}{2}}$
\quad,\quad
$A\coordh{\dfrac{\pi}{6}}{\dfrac{\pi}{6}}$
\quad et \quad
$B\coordh{\dfrac{\pi}{3}}{\dfrac{\pi}{3}}$

\qst Déterminer les coordonnées cartésiennes des points $I$, $J$ , $K$, $A$ et $B$.
\qst Calculer les produits scalaires suivants : \prosc OAOB , \prosc OAOJ et \prosc OBOJ.
\newline
En déduire les longueurs des côtés du triangle sphérique $ABJ$ en radians à $10^{-2}$ près.
\qst Calculer, en radians à $10^{-2}$ près, la mesure en radians de l'angle $\hat{A}$ du triangle sphérique~$ABJ$.\newline
\textit{Rappel:\newline
Pour un triangle sphérique $ABC$, avec les notations usuelles de la trigonométrie sphérique on  a :}\newline
$\cos a=\cos b.\cos c+\sin b.\sin c.\cos\hat{A}$.
\qst Soit $(P)$ le plan passant par les points $I$, $J$ et $K$. \'Ecrire une équation cartésienne du plan~$(P)$. 
\qst Montrer que le point $H$ de coordonnées cartésiennes $H \coordsph{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}}$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(P)$.
\qst En déduire la nature de l'intersection du plan $(P)$ et de la sphère $(\Sigma)$.
\newline
Préciser les éléments caractéristiques de cet ensemble.

\end{exercice}

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\newpage

\begin{exercice}[12 points]

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij d'axes $(Ox)$ et $(0y)$.\newline
Soient $A$ le point de coordonnées $A \coordh{1}{0}$, $(C)$ le cercle de diamètre $[OA]$,
$t$ un réel et $(D_t)$ la droite passant par l'origine et par le point $Q$ de coordonnées \coordh{1}{t}.

\partieexo[Etude géométrique.]
\qstssq Justifier que $t$ est le coefficient directeur de la droite $(D_t)$ et en déduire l'équation réduite de la droite $(D_t)$.
\ssq \'Ecrire une équation cartésienne du cercle $(C)$.
\qst La droite $(D_t)$ coupe le cercle $(C)$ au point $O$ et au point $N$.
\newline
Montrer que le couple de coordonnées \coordh{X(t)}{Y(t)} de $N$ en fonction de $t$ est :
$
N
\left\{
\begin{array}{l}
X(t)=\dfrac{1}{\strut 1+t^2}
\\
Y(t)=\dfrac{\strut t}{1+t^2}
\end{array}
\right.
$

\qst Soit $M$ le point du plan tel que : $\Vect OM = \Vect NQ$.
\newline
Montrer que le couple de coordonnées \coordh{x(t)}{y(t)} de $M$ en fonction de $t$ est :
$
M
\left\{
\begin{array}{l}
x(t)=\dfrac{t^2}{\strut 1+t^2}
\\
y(t)=\dfrac{\strut t^3}{1+t^2}
\end{array}
\right.
$

\medskip
\partieexo[\'Etude d'une courbe paramétrée.]

Dans le plan rapporté au repère orthonormal \Oij, on désigne par $(\Gamma)$ la courbe définie
paramétriquement par : 
$
(\Gamma)
\left\{
\begin{array}{l}
x(t)=\dfrac{t^2}{\strut 1+t^2}
\\
y(t)=\dfrac{t^3}{\strut 1+t^2}
\end{array}
\right.
$
où $t$ décrit \R.

Pour $t \neq 0$, $M \coordh{x(t)}{y (t)}$ est distinct du point $O$ et on rappelle que $t$ est le coefficient directeur de la droite $(D_t)$.

\qst Montrer que la courbe $(\Gamma)$ admet l'axe $(Ox)$ comme axe de symétrie et en déduire que l'on peut étudier la courbe $(\Gamma)$ pour $t \in\intfo{0}{+\infty}$.
\qst \'Etudier les limites des fonctions $x$ et $y$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\Gamma)$ ?
\qst Montrer que les fonctions $x$ et $y$ ont pour dérivées : 
$x'(t) = \dfrac{2t}{(1+t^2)^2}$ et $y'(t)= \dfrac{3t^2+t^4}{(1+t^2)^2}$.

\qst \'Etudier les variations des fonctions $x$ et $y$ pour $t \in\intfo{0}{+\infty}$ et représenter les résultats \textbf{\underline{dans le tableau de l'annexe}}.
\qst Calculer : $\limite{t}{0}{>} \dfrac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}$. En déduire la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point $O$.
\qst Tracer la courbe $(\Gamma)$ dans le \underline{\textbf{repère représenté sur l'annexe}}. 
\newline
On placera les points de $(\Gamma)$ pour les valeurs $t = 1$, $t = 2$ et $t = \sqrt{3}$.


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\newpage


\partieexo[\'Etude d'une inversion.]

On considère l'inversion I de pôle $O$ et de puissance 1.
\qst Déterminer les coordonnées $x_1(t)$ et $y_1(t)$ du point $M_1$, image par l'inversion I du point $M\,\coordh{x(t)}{y(t)}$ de la courbe $(\Gamma)$ privée de $O$, en fonction de $t$ ($t \neq 0$).
\newline
On rappelle la relation : $\Vect OM_1 = \dfrac{1}{OM^2} \,\Vect OM$.
\qst Montrer que les coordonnées $x_1(t)$ et $y_1(t)$ du point $M_1$ vérifient l'équation $y^2 =x$.
\qst Préciser la nature de la courbe $(P)$ d'équation : $y^2 = x$ et en donner les éléments
caractéristiques.
\qst Tracer la courbe $(P)$ dans \textbf{\underline{le repère de l'annexe}}.


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\begin{center}\textbf{-- ANNEXE à rendre avec la copie --}\end{center}

\textbf{\underline{Exercice 2 : B) 4)}}

$
\begin{array}{|c|cp{11cm}c|}
\hline
t & 0 && +\infty
\\\hline
x'(t)&&&
\\\hline
\raisebox{1.5cm}{$x(t)$}&\rule{0cm}{3cm}&&
\\\hline
\raisebox{1.5cm}{$y(t)$}&\rule{0cm}{3cm}&&
\\\hline
y'(t)&&&
\\\hline
\end{array}
$

\bigskip

\underline{\textbf{Repère et figure de l'exercice 2 :}}


\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.2)(1.5,1.2)
	\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.2)(1.5,1.2)
	\psline{->}(1,0)
	\psline{->}(0,1)
	\pscircle(0.5,0){0.5}
	\psline(1,-1.5)(1,1.5)
	\uput[-45](0,0){$O$}
	\uput[45](1,0){$A$}
	\uput[-20](1,0.6){$Q$}
	\uput[90](0.26,0.16){$M$}
	\uput[90](0.74,0.44){$N$}
	\uput[-45](0.5,-0.5){$(C)$}
	\uput[120.96](1.3;210.96){$(D)$}
	\uput[180](0,1){$1$}
	\uput[180](0,-1){$-1$}
	\uput[-90](-1,0){$-1$}
	\psplot[algebraic=true]{-1.5}{1.5}{0.6*x}
	\psline[linewidth=0.015]{->}(0.26,0.16)
	\psline[linewidth=0.015]{->}(0.74,0.44)(1,0.6)
\end{pspicture*}
\end{center}


\vfill\hfill
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\end{exercice}

\end{document}
