\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}


\begin{center}
\textbf{CONCOURS ESGT 2000}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

Durée : 3 heures -- Coefficient : 1

\textit{L'utilisation de la calculatrice est interdite.}

\end{center}

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\exo
On pose $I_{p,n}=\int_{0}^{1}x^p(1-x)^n \,\mathrm{d}x$, $p$ et $n$ désignent des entiers naturels.

\qst Calculer $I_{p,0}$, $I_{p,1}$ et $I_{p,2}$.
\qst Calculer $I_{0,n}$ et en déduire $I_{1,n}$.
\qst \'Etablir pour $n\ge1$ la relation 
$I_{p,n}=\dfrac{n}{p+1}I_{p+1,n-1}$
puis en déduire $I_{p,n}$.
\qst Application : calculer $I_{5,4}$.


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\exo
\qst Linéariser, à l'aide des formules d'Euler, $\cos x.\sin^3x$.
\qst Résoudre l'équation trigonométrique suivante : $8\cos x.\sin^3x = 2-\sin4x$.


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\exo
\'Etudier et construire la courbe paramétrée suivante :
\[
 \begin{systeme}
  x(t)=t(t+1)
\\
  y(t)=1+t^3
 \end{systeme}
\]


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\exo
Discuter et positionner suivant les valeurs des paramètres réels $a$ et $m$ les solutions de l'équation suivante :
\[
 \ln(x+a) - \dfrac{1}{2}\ln(ax) = \ln\left(\dfrac{1+m^2}{m}\right)
\]


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\exo
On dispose de 2 dés A et B.

Le \textbf{dé A} a 4 faces rouges et 2 blanches.

Le \textbf{dé B} a 2 faces rouges et 4 blanches.

On lance une pièce de monnaie une fois pour toute en début de jeu.

Si on obtient \og pile \fg, on joue avec le dé A.
Si on obtient \og face \fg, on joue avec le dé B.

\qst Calculer la probabilité d'obtenir \og rouge \fg au premier lancer de dé.
\qst Calculer la probabilité d'obtenir \og rouge \fg au 3$^{\text{ème}}$ lancer sachant que l'on a déjà obtenu \og rouge \fg aux 2 premiers lancers.
\qst Quelle est la probabilité $P'$ d'avoir utilisé le dé A sachant que l'on a obtenu \og rouge \fg aux $n$ premiers lancers ? (que vaut $P'$ quand $n\to+\infty$ ?)
\qst Combien de fois faut-il avoir obtenu \og rouge \fg pour être assuré, à 90 \% de chances, d'avoir utilisé le dé A ?



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\exo
Caractériser l'ensemble des vecteurs orthogonaux aux vecteurs :

$\overrightarrow{V_1}=\Coordsp{1}{-3}{2}$ et $\overrightarrow{V_2}=\Coordsp{-1}{2}{1}$.


\end{document}