\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}


\begin{center}
\textbf{CONCOURS ESGT 2001}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

Durée : 3 heures -- Coefficient : 2

\textit{L'utilisation de la calculatrice est interdite.}

\end{center}

\bigskip

\exo
Résoudre dans \R l'équation et l'inéquation trigonométrique suivantes :

\qst $\cos x-\sqrt{3}\sin x=1$.

\qst $\dfrac{\strut2\cos 2x-1}{1+2\cos2x}<0$.


\bigskip

\exo
Calculer le module et l'argument du nombre complexe $z=\dfrac{3}{\sqrt{3}+\mathrm{i}}$ puis calculer $z^{4}$ sous forme algébrique.


\bigskip

\exo
Une urne contient 5 boules blanches, 4 boules noires et 2 boules rouges.

On tire au hasard 3 boules simultanément.

Calculer les probabilités suivantes :

\qst Avoir au moins 2 boules blanches.
\qst Avoir au moins 2 boules de même couleur.
\qst Avoir une boule de chaque couleur.




\bigskip

\exo
\qst \'Etudier la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(x-\ln x)$ où $\ln x$ désigne la fonction logarithme népérien de $x$.
\qst Illustrer graphiquement l'existence du point d'inflexion.
\qst Positionner le graphe $C_1$ de la fonction $f$ par rapport au graphe $C_2$ de la fonction $g$ telle que $g(x)=\ln x$ dans un même repère orthonormé.


\bigskip

\exo
On considère l'intégrale suivante :
\[
I_p = \int_{0}^{1}\dfrac{\mathrm{d}x}{(x^3+1)^p}
\qquad p
\text{ réel strictement positif.}
\]
Déterminer une relation de récurrence entre $I_{p}$ et $I_{p+1}$.


\newpage



\exo
On considère la sphère $(S)$, d'équation $x^2+y^2+z^2-3x=0$ et le plan $(P)$ d'équation $x+y+z-1=0$.

Démontrer que $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle $(C)$ dont on déterminera les coordonnées du centre, $H$, et le rayon $r$.



\bigskip

\exo
\qst Calculer par récurrence les dérivées successives de $\sqrt{1+x}$.
\qst Montrer par récurrence que la dérivée $n^{\text{ième}}$ du produit de 2 fonctions $n$ fois dérivables $f$ et $g$ est :
\[
(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}g^{(n-k)}
\text{(formule de Leibniz).}
\]
La notation $f^{(p)}$ désigne la dérivée $p^{\text{ième}}$ de $f$, lorsque $p=0$, $f^{(0)}$ désigne, par convention, la fonction $f$.

\qst \underline{Application :} formuler la dérivée $n^{\text{ième}}$ ($n>4$) de 
$h(x)=\left(\dfrac{x^3}{3}+x^2+1\right)\sqrt{1+x}$.


\end{document}