\documentclass[12pt,annales]{profmath}

%\usepackage{array}
\begin{document}


\begin{center}
\textbf{CONCOURS ESGT 2002 -- TS et TS'}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

Durée : 3 heures -- Coefficient : 2

11 est rappelé que l'utilisation de la calculatrice est interdite.

Les six exercices sont indépendants.

Le sixième exercice est un Q.C.M que vous prendrez soin de remettre avec votre copie.

\end{center}


\begin{exercice}

Soient les nombres complexes :

\hfil
$Z_1 = \dfrac{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}$
et
$Z_2= 1-\mathrm{i}$.

\qst Mettre sous forme trigonométrique $Z_1$ et $Z_2$.
\qst Mettre sous forme algébrique et trigonométrique le nombre $Z$ tel que
$Z =Z_1/Z_2$.
\qst Résoudre dans \R l'équation d'inconnue $x$ suivante :
\newline
$
\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cos x+\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sin x=2.
$

\qst Placer les points images des solutions de l'équation sur le cercle trigonométrique.

\end{exercice}


\bigskip


\begin{exercice}

\qstssq Montrer que : $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{\ln(n+2^{-n})}{2n}=0$.
\ssq En déduire la limite suivante : $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{\ln(1+n2^{n})}{2n}$.
\qst Pour tout entier naturel $n$, on pose :
\[
u_n = \int_0^1 \dfrac{2^nx}{1+n2^nx^2} \,\mathrm{d}x
.
\]

\ssq Calculer $u_0$.
\ssq Calculer $u_n$, pour tout entier $n$ supérieur à 0.
\ssq Que peut-on dire de la suite $(u_n)$ ?

\end{exercice}


\bigskip

\begin{exercice}

\qst Étudier sur \R privé de 0 la fonction $g$ définie par 
\[
	g(x) = x\e^{1/x}.
\]
\qst Représenter le graphe C de la fonction $g$ dans un repère orthonormé.

\end{exercice}




\newpage






\begin{exercice}

Soit $A$, $B$, $C$ trois points du plan non alignés tels que le triangle $ABC$ ne soit pas équilatéral.

On désigne par $A'$, $B'$ et $C'$ les milieux respectifs des segments $[BC]$, $[CA]$ et
$[AB]$.

On pose $a = BC$, $b=CA$ et $c=AB$.

\qst On considère le vecteur $\vec{u}= a^2 \, \Vect BC +b^2 \, \Vect CA+c^2 \, \Vect AB$.
\newline
Montrer que $\vec{u}= (a^2-b^2) \, \Vect AC +(c^2-a^2)  \, \Vect AB$.
\newline
En déduire que $\vec{u}$ n'est pas le vecteur nul.

\qst Pour tout point $M$ du plan on pose :
\[
	f(M) = a^2 \, \Vect BC . \Vect M{A'} + b^2 \, \Vect CA \Vect M{B'} +c^2 \, \Vect AB \Vect M{C'}.
\]
\ssq Soit $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$, calculer $f(O)$.
\ssq Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.
\newline
Montrer que $\Vect BC .\Vect  GA' = \dfrac{\strut 1}{\strut 6}(b^2-c^2)$.
\newline
En déduire la valeur de $f(G)$.
\ssq Déterminer l'ensemble D des points $N$ du plan tels que $f(N) = O$.\newline
 (on illustrera à l'aide d'un dessin).

\end{exercice}


\bigskip


\begin{exercice}
Un service a une fréquentation moyenne horaire de 3 personnes.

On applique une loi de Poisson au nombre aléatoire $X$ de personnes entrant dans ce service dans un laps de temps T, exprimé en heures.

\qst Formuler et comparer les probabilités P$_1$ et P$_2$ qu'il n'y ait aucun client se présentant pendant la première demi-heure et pendant les cinq premières minutes.

\qst Formuler la fréquentation moyenne horaire afin que la probabilité d'arrivée du 1\ier client après 20 minutes soit supérieure à 50 \%.

\end{exercice}



\newpage

\newcommand{\Carre}{
\unitlength 1mm
\raisebox{-0.5mm}{\framebox(5,5){}}
}
%\fbox{\rule{1em}{1em}}

\begin{exercice}

\begin{center}
\textbf{Q.C.M.}
\end{center}

\begin{center}
\textit{(cocher la ou les bonne(s) réponse (s) aux questions posées)}
\end{center}

\qst[1] En coordonnées sphériques, le lieu des points tels que r = cste est :
\newline
\begin{tabular}{p{7cm}>{\Carre}l}
(1) un cercle &
\\
(2) un cylindre&
\\
(3) une sphère&
\\
(4) un plan&
\end{tabular}

\medskip

\qst En coordonnées polaires, on repère deux points $M_1\,(r_1, \theta_1)$ et $M_2\,(r_2, \theta_2)$.
\newline
Quelle condition doivent remplir $\theta_1$ et $\theta_2$ pour que 
$\Vect OM_1 \land \Vect OM_2 = \vectnul$ ?
\newline
\begin{tabular}{p{7cm}>{\Carre}l}
(1) $\theta_1=\theta_2\pm \dfrac{\pi}{2}$&
\\
(2) $\theta_1=\theta_2\pm \pi$&
\\
(3) $\theta_1=-\theta_2\pm \pi$&
\end{tabular}

\medskip

\qst Un angle de 1° vaut :
\newline
\begin{tabular}{p{7cm}>{\Carre}l}
(1) $\pi/180$ radians&
\\
(2) 60'&
\\
(3) $10/18$ grades&
\end{tabular}

\medskip

\qst L'inégalité :
$\left|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\right| \le \int_a^b \left|f(x)\right|\mathrm{d}x$
\newline
\begin{tabular}{p{7cm}>{\Carre}l}
(1) est toujours vérifiée &
\\
(2) est vraie suivant l'allure de $f(x)$&
\\
(3)  est vérifiée si $a < b$&
\end{tabular}

\medskip

\qst L'équation $x - \e^{-x} = 0$ sur \R :
\newline
\begin{tabular}{p{7cm}>{\Carre}l}
(1) n'a pas de solution&
\\
(2) a une solution unique&
\\
(3) a plusieurs solutions&
\end{tabular}

\end{exercice}


\end{document}
