\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}

\begin{center}
\textbf{CONCOURS ESGT 2003}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

Durée : 3 heures -- Coefficient : 2
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\exo
Soient deux arcs $\alpha$ et $\beta$ exprimés en radians et compris entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$ tels que :
\newline
$\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{x}{x+1}}$ et $\mathrm{cotan}\, \beta = \sqrt{x}$.

1.1) Trouver la relation vérifiée par la somme $\alpha+\beta$.

1.2) Vérifier cette relation pour $x=1$.

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\exo
2.1) Fournir l'équation réduite puis discuter suivant les valeurs de $m$, paramètre réel non nul, de la nature des courbes représentées en axes rectangulaires par l'équation :
\[y^2=mx^2+2(1-m)x+m-1. \]

2.2) Dans le cas particulier $m=-1$, tracer la courbe correspondante.


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\exo
Soient $z=x+\mathrm{i}y$ et $Z=X+\mathrm{i}Y$, deux nombres complexes liés par la relation :
\[Z=\dfrac{az+b}{cz+d}\qquad \text{(E)}\]
où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels tels que : $ad-bc\neq0$.

La transformation ponctuelle du plan orthonormé $Oxy$ fait correspondre au point $m$ d'affixe $z$, le point $M$ d'affixe $Z$.

3.1) Cette transformation conserve-t-elle l'axe $x'x$ ?

3.2) On considère, sur l'axe $y'y$, un point quelconque $m$ d'affixe $z=\mathrm{i}y$ ; calculer l'affixe~$Z$ du point $M$ correspondant.

3.3) Comment faut-il choisir $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que (E) conserve l'axe $y'y$ ?
\newline
(on trouvera qu'il existe deux transformations répondant à la question)

3.4) On considère celle, $(T)$, des deux transformations précédentes (autre que l'identité) admettant le point $A\coordh{1}{0}$ pour point double. Montrer qu'elle est involutive et qu'elle admet aussi le point double $B\coordh{-1}{0}$.

3.5) Dans la transformation T, quelle est l'homologue d'une droite issue de $O$, d'un cercle passant par $A$ et $B$ ?

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\exo
Dans la suite le terme \og positif \fg s'entend au sens large. Pour tout nombre réel positif $k$, on définit la fonction réelle $f_{k}$ sur l'ensemble des réels positifs de la variable $t$ par :
\[f_{k}(t)=t^{k}\e^{-t}.\]

On désigne par $C_{k}$ le graphe de $f_{k}$.

4.1) \'Etudier, suivant les valeurs de $k$, la fonction $f_{k}$ au voisinage de 0.
\newline
On distinguera les quatre ensembles de valeurs de $k$ suivantes :
\newline
$k=0$, $0<k<1$, $k=1$ et $k>1$.

4.2) \'Etudier en fonction de $k$ les variations de $f_{k}$.

4.3) Tracer sur le même graphique les quatre types de courbes $C_{k}$ correspondant aux ensembles de valeurs de $k$ précédents.

4.4) Pour tout réel positif $k$, on pose l'intégrale suivante :
$I_{k}=\int_{0}^{+\infty}t^k\e^{-t}\,\mathrm{d}t$.
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Trouver une relation entre $I_{k}$ et $I_{k+1}$.
\newline
Lorsque $k$ est entier, exprimer $I_{k}$ en fonction de $k$.



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\exo
Une urne contient trois boules blanches et $x$ boules noires ($x\ge2$).

On tire simultanément deux boules de l'urne ; les boules sont indiscernables au toucher et tous les tirages de deux boules sont équiprobables. On désigne par $X$ la variable aléatoire réelle : \og nombre de boules blanches tirées \fg.

5.1) Déterminer, en fonction de $x$, la loi de probabilité de $X$ (on donnera les probabilités sous la forme de fractions rationnelles).

5.2) Calculer l'espérance mathématique de $X$ notée $E(X)$.

5.3) Calculer $x$ pour que $P(X=0)=P(X=2)$. Que vaut alors $E(X)$ ?

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