\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}

\begin{center}
\textbf{CONCOURS ESGT 2004}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

% Durée : 3 heures -- Coefficient : 2
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\exo
\qst Rappeler les caractéristiques de la loi binomiale.
\qst On lance J fois de suite une pièce normale (J entier supérieur à 1).\newline
Déterminer l'ensemble des valeurs de J telles que la probabilité d'obtenir moins de 2 fois \og pile \fg soit supérieure ou égale à $\dfrac{1}{2}$.

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\exo
On considère l'équation $f(z)=0$ avec
\[f(z)=\mathrm{i}\,z^3+(-1+2\,\mathrm{i})z^2-(4+\mathrm{i})z+3(-1+2\,\mathrm{i})\]
Résoudre l'équation dans l'ensemble des nombres complexes sachant qu'elle admet une solution réelle.

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\exo
Démontrer que les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par :
\[U_n=2^{n+1}\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right)\ 
\text{ et }\
V_n=2^{n+1}\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)
\ \ \left(
0<\theta <\frac{\pi}{2},\ n\ \text{ entier naturel}\right)\]
sont respectivement croissante et décroissante et qu'elles admettent la m\^eme limite.

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\exo
Déterminer et construire l'ensemble $A$ des points du plan dont les coordonnées dans un repère orthonormé
$(0,\vec \imath,\vec \jmath)$ vérifient :
\[x|x|+4y^2-4x-8y=0\]

\newpage

\exo
\'Etudier la fonction :
\[g:x\mapsto x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\]
et construire sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(0,\vec \imath,\vec \jmath)$
en suivant la méthodologie suivante :\newline
1. domaine de définition et continuité\newline
2. étude des limites et recherche des asymptotes\newline
3. dérivabilité\newline
4. tableau des variations\newline
5. tracé graphique.\newline
(soit $c$ la valeur d'annulation de la dérivée sur le domaine, on prendra $g(c)=-3,3$).

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\exo
Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs donnés dans une base orthonormée $(\vec \imath,\vec \jmath,\vec k)$.
\qst Quelle relation doit-il exister entre $\vec u$ et $\vec v$ pour que l'on puisse trouver un
vecteur $\vec x$ tel que $\vec u\wedge \vec x=\vec v$ ?
\qst On suppose cette condition satisfaite. Démontrer que $\vec u\wedge (\vec u\wedge \vec v)=-u^2\vec v$\newline
(on prendra $\vec u$ parallèle à l'axe $Ox$).

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\exo
Un insecte relie les deux c\^otés opposés d'une pièce cubique de c\^oté $a$.\newline
Quel est, en fonction de $a$, la distance minimale parcourue par l'insecte en marchant sur les murs ou le plafond ? (faire un dessin).

\end{document}
