\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}


\begin{center}
\textbf{CONCOURS ESGT 2005}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

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\textbf{Les 6 exercices sont indépendants.}

\end{center}

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\exo
Fournir deux valeurs remarquables solutions de l'équation trigonométrique suivante :
\[6\sin^{3}x-7\sin^{2}x+1=0.\]

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\exo
Déterminer algébriquement l'ensemble des points $M$ d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$ ($x$, $y$ réels) de telle manière que le complexe $Z=\dfrac{\strut z+1}{\strut z-2\mathrm{i}}$ soit imaginaire pur.

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\exo
Soit les deux épreuves suivantes :
\newline
3.1) On procède au jet d'un dé non truqué et on note $X$ la variable aléatoire correspondant à la face obtenue.
\newline
Fournir l'espérance mathématique notée $m$, la variance notée $V$ et enfin l'écart-type noté~$\sigma$ de la variable aléatoire $X$.
\newline
3.2) On jette 2 dés non truqués simultanément en notant $Y$ la variable aléatoire correspondant à la somme des faces obtenues.
\newline
Calculer l'espérance mathématique de $Y$ et commenter le résultat obtenu.

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\exo
Déterminer la nature et les éléments de symétrie des coniques d'équations suivantes :
\newline
4.1) $x^2+y^2-2x+6y+12=0$
\newline
4.2) $y^2+6y+x+4=0$

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\exo
On considère la suite $(u_n)$, $n$ entier naturel, définie par :
\[u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \mbox{ et } u_0=0.\]

5.1) Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

5.2) Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par 3.

5.3) Montrer l'inégalité suivante : $3-u_{n+1} \le \dfrac{\strut 3-u_n}{\strut 3}$.

5.4) En déduire l'encadrement : $0 \le 3-u_{n+1}\le\dfrac{\strut 1}{\strut 3^n}$.
\newline
\null\qquad Que peut-on en conclure lorsque $n\to +\infty$ ?

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\exo
Dans tout l'exercice suivant $k$ est un paramètre entier naturel supérieur ou égal à 2.

6.1) Fournir une primitive de la fonction $g_k : t \mapsto g_k(t)=t^{k}\ln t$.

6.2) \'Etudier et tracer dans un repère orthonormé la fonction :
\[g_2(t)=t^2\ln t\]
\qquad (On fournira les coordonnées du point d'inflexion $B_2$).

6.3) \'Etudier les variations de $g_k(t)$ et fournir les coordonnées du minimum $A_k$.

\end{document}