\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}

\begin{center}
\textbf{CONCOURS ESGT 2006}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

% Durée : 3 heures -- Coefficient : 2
\end{center}


L'épreuve de mathématiques comporte six exercices.

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\exo
Résoudre le système trigonométrique suivant :

$\begin{systeme}
\cos^{3}x+\sin^{3}x=1
\\
\cos^{2}x+\sin^{2}x=1
 \end{systeme}
$

On posera $P=\sin x\cos x$ et $S=\sin x +\cos x$ dans les identités remarquables.

\bigskip

\exo
Soit le nombre complexe suivant : $Z=\dfrac{4}{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}$.

2.1) \'Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique les racines carrées notées $z_1$ et $z_2$ du nombre $Z$.

2.2) Représenter les points images $M_1$ et $M_2$ des affixes respectifs $z_1$ et $z_2$ sur le plan complexe.


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\exo
Trente machines identiques fonctionnent en même temps.\newline
La probabilité pour que l'une d'elles tombe en panne dans la journée est de 0,05.\newline
2 personnes A et B parient le matin sur le nombre de machines qui tomberont en panne durant la journée.
\newline
A parie qu'il n'y en aura aucune et B qu'il y en aura 2.\newline
Laquelle des deux a-t-elle le plus de chances de gagner son pari ?

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\exo
4.1) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ différent de $-1$ et de $-2$ :
\[f(x)=\dfrac{2}{(1+x)^2(2+x)}=\dfrac{a}{(1+x)^2}+\dfrac{b}{(1+x)}+\dfrac{c}{2+x}.\]

4.2) Fournir une primitive $F$ de la fonction $f$.

4.3) Calculer $K=\int_{0}^{1}f(t)\,\mathrm{d}t$ et en fournir une valeur approchée à $10^{-2}$.

\bigskip

\exo
\'Etudier et représenter la fonction $f$ de l'exercice précédent en vous limitant exclusivement au report des résultats dans la grille donnée en annexe.

\bigskip

\exo
Calculer la limite de la fonction suivante :\newline
$Y(x)=\left(\e^{x}-\e^{\sin x}\right)/(x-\sin x)$\qquad quand $x\to 0$.

Rappel : $\sin x = x-\dfrac{x^3}{3!}+\dots+(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$
et
$\e^{x} = 1+x+\dots+\dfrac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})$

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Numéro de copie :

\begin{center}
\fbox{ANNEXE A RESTITUER AVEC LA COPIE}

\medskip

\underline{\textbf{EXERCICE N°5}}

\medskip

% use packages: array
\begin{tabular}{|c|m{9cm}|}\hline
Domaine de définition &  \espacevide{9cm}{1cm} \\ \hline
Equation des asymptotes &  \espacevide{9cm}{1cm} \\ \hline
Expression de la dérivée &  \espacevide{9cm}{2cm} \\ \hline
Valeurs d'annulation de la dérivée &  \espacevide{9cm}{2cm} \\ \hline
Tableau des variations &  \espacevide{9cm}{5.5cm} \\ \hline
Graphe & \espacevide{9cm}{6.5cm}
\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


\end{document}