\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}

\begin{center}
\textbf{CONCOURS ESGT 2007}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

% Durée : 3 heures -- Coefficient : 2
\end{center}

Les six exercices sont indépendants et devront être traités impérativement dans l'ordre indiqué :


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\exo
On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies par :
\[f(t)=\dfrac{1}{t(1+t^2)} \qquad \mbox{et} \qquad g(t)=-\dfrac{1}{(1+t)t^2}.\]

1.1) Déterminer une primitive de $f$ et de $g$.

1.2) Donner la valeur exacte du nombre $B$ suivant :
\[B=\int_{1}^{2}f(t)\,\mathrm{d}t.\]
\qquad Interprétation graphique de $B$ ?

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\exo
On admet que la variable aléatoire $X$ qui associe à tout composant de type A sa durée de vie, mesurée en heures, suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma$.

2.1) Déterminer $m$ et $\sigma$ sachant que :
\newline
$P(X>1100)=0,9332$ et
\newline
$P(X\le 1600)=0,8413$.

2.2) On suppose désormais que $m=1400$ et que $\sigma=200$.
\newline
\null\qquad Calculer la probabilité $u=P(X>1200)$ et commenter le résultat obtenu.

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\exo
On considère la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
\newline
$H(x)=\exp(x)/\sqrt{1+x}$.
\newline
Soit $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

3.1) \'Etudier les variations de $H$.

3.2) Donner l'équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse 0.

3.3) Tracer $(C)$ et $(T)$.

3.4) Formuler le développement limité d'ordre 2 de la fonction $H$ en 0.


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\exo
Résoudre l'équation trigonométrique suivante :
\[\cos x+\dfrac{3}{4}\sin x-\dfrac{5}{4}=0.\]

\newpage

\exo
Soit le nombre complexe : $j=\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ ($\mathrm{i}$ tel que $\mathrm{i}^2=-1$)
\newline
et les quatre nombres complexes :
\newline
$a=-j^2$
\newline
$b=2j$
\newline
$c=-2j$
\newline
$d=4/j$.
\newline
Dans le plan complexe, on considère les 4 points $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes respectives $a$,~$b$,~$c$,~$d$.

5.1) Calculer $Z=\dfrac{\strut a-b}{\strut a-c}\ /\ \dfrac{d-b}{d-c}$.

5.2) Quelle est la propriété vérifiée par les 4 points $A$, $B$, $C$ et $D$ ?


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\exo
Dans un espace affine $E_3$ rapporté à un repère orthonormé, soit les deux plans $P$ et $P'$ définis par leurs équations cartésiennes suivantes :
\newline
$P$ : \quad $x-2z=0$
\newline
$P'$ : \quad $2x-5y+z-15=0$.

6.1) Les plans sont-ils perpendiculaires ?

6.2) Calculer la distance du point $E\coordsph{7}{2\sqrt{6}}{1}$ à la droite $D=P\cap P'$.

6.3) Déterminer l'équation de la sphère $S$ de centre $E$ et tangente à $D$.


\end{document}