\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}

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\textbf{CONCOURS ESGT TS-TS' 2008}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

Durée : 3 heures -- Coefficient : 2
\end{center}

Documents interdits.

Calculatrice fournie par l'ESGT uniquement.

Les sept exercices sont indépendants.


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\begin{exercice}


Soient les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies sur les entiers naturels par :
\newline
\null\qquad $U_0=1$
\newline
\null\qquad $U_{n+1}=\dfrac{\strut U_n}{\strut 3}+n-1$
\newline
\null\qquad $V_n=4\,U_n-6n+15$

\qst Démontrer que la suite $(V_n)$ est géométrique et en déduire l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
\qst Prouver que la suite $(U_n)$ peut s'écrire sous la forme d'une somme d'une suite géométrique $(T_n)$ et d'un suite arithmétique $(W_n)$.

\end{exercice}


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\begin{exercice}

Soit la suite des nombres complexes $\{Z\}$ définie par :

$Z=\dfrac{\strut 1-\mathrm{i}}{\strut (1+\mathrm{i})^n}$
avec $n$ entier naturel et $\mathrm{i}$ tel que $\mathrm{i}^2=-1$.

Quels sont les éléments réels de la suite ?

\end{exercice}

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\begin{exercice}

Soit l'espace vectoriel $\boldsymbol{V}$ rapporté à la base canonique $\vec\imath=\Coordsp{1}{0}{0}$, $\vec\jmath=\Coordsp{0}{1}{0}$ et $\vec{k}=\Coordsp{0}{0}{1}$ et 
$\{\vec{U},\vec{V},\vec{W}\}$ une base quelconque de $\boldsymbol{V}$.

Montrer que l'on peut construire une base $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ orthonormée dont le premier vecteur soit colinéaire à $\vec{U}$ et le second dépende de $\vec{U}$ et de $\vec{V}$.

Application : 
$\vec{U}=\Coordsp{2}{1}{0}$, $\vec{V}=\Coordsp{1}{3}{-1}$ et $\vec{W}=\Coordsp{3}{0}{2}$.

\end{exercice}

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\begin{exercice}

Donner les solutions réelles de l'équation du second degré suivante :
\[
	X^2-2\cos(a)X+1-\sin(a)=0
\]
$a$ paramètre réel avec $0<a<\dfrac{\pi}{2}$.

\end{exercice}



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\begin{exercice}
\qst Donner les variations de la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
\[
	f:x\to \dfrac{x}{\ln x}
\]
Construire sa courbe dans un repère orthonormé.

\qst A l'aide de la représentation précédente résoudre l'équation suivante :
\newline
\qquad
$a^b=b^a$ avec $a$ et $b$ entiers positifs distincts.

\end{exercice}


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\begin{exercice}

Une urne contient $r$ boules rouges, $v$ boules vertes et $b$ boules blanches.
\qst Dans une première expérience, on tire trois boules à la fois. Quelle est la probabilité pour que les trois boules soient de la même couleur ?
\qst Dans une deuxième expérience, on tire les trois boules l'une après l'autre (tirage effectué avec remise).
\newline
Quelle est la probabilité pour que les trois boules soient de couleurs différentes ?

\end{exercice}

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\begin{exercice}

Fournir une primitive de chacune des fonctions suivantes :
\newline
$F(x)=1/x\ln(x)$
\newline
$G(x)=1/x(\ln(x))^2$

\end{exercice}


\end{document}
