\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}

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\textbf{CONCOURS ESGT TS-TS' 2009}

\textbf{EPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

Durée : 3 heures -- Coefficient : 2
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Documents interdits.

Calculatrice fournie par l'ESGT uniquement.

Les sept exercices sont indépendants.


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\begin{exercice}

Fournir les caractéristiques ainsi que l'équation réduite de la conique suivante :
\[
x^2 = \dfrac{25}{2}\left[y-\dfrac{6}{10}\right]^2+1
\]

\end{exercice}


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\begin{exercice}

Soit le nombre complexe $Z$ défini par :

\qquad
$Z=\dfrac{\strut 1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{\strut 1-\mathrm{i}}$
avec $\mathrm{i}$ tel que $\mathrm{i}^2=-1$.

2.1/ Déterminer le module et l'argument du nombre complexe $Z$.

2.2/ Déterminer l'ensemble E formé des entiers positifs non nuls $n$ tels que $Z^n$ soit réel.

2.3/ Calculer $Z^k$ pour la plus petite des valeurs $k$ de l'ensemble E.

\end{exercice}

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\begin{exercice}

Dans un repère orthonormé \Oijk, on considère les trois points $A$, $B$ et $C$ placés sur les trois axes de coordonnées :
$A\,(1,0,0)$, $B\,(0,2,0)$, $C\,(0,0,3)$.

3.1/ Déterminer les coordonnées d'un vecteur unitaire $\vec{n}$ perpendiculaire au plan $ABC$.

3.2/ Calculer l'aire du triangle $ABC$ en utilisant le produit vectoriel.

3.3/ Quel est le volume du parallèlépipède construit sur $AO$, $AB$, $AC$ ?

\end{exercice}


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\begin{exercice}

On fournit l'inégalité de Schwartz suivante :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle fermé borné \intff{a}{b}, $b\ge a$.

Alors :
\qquad
$
\left[
\int_a^{b} f(x)g(x)\mathrm{d}x
\right]^2
\le
\left(
\int_a^{b} (f(x))^2\mathrm{d}x
\right)
\left(
\int_a^{b} (g(x))^2\mathrm{d}x
\right)
$

Vérifier l'inégalité de Schwartz sur l'intégrale suivante :
\qquad
$
\int_0^{1} \mathrm{exp}(-x)\mathrm{d}x
$.

(Note : comprendre \og quand $f(x)=g(x)=\mathrm{exp}(-x)$ \fg)

\end{exercice}



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\begin{exercice}

Cet exercice porte sur l'étude de l'évolution de la masse d'un organisme au cours du temps.

5.1/ \'Etudier les variations de la fonction numérique de la variable réelle positive $t$ :
\[
h:t\to \dfrac{3}{1+2\mathrm{exp}(-2t)}.
\]

5.2/ Tracer la courbe représentative (C) dans un repère orthonormé.

5.3/ Déterminer le temps nécessaire pour que la masse initiale double.

\end{exercice}


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\begin{exercice}

Combien faut-il de lancers, au minimum, d'une pièce équilibrée afin que la probabilité d'avoir 0 \og pile \fg soit majorée par 2 \% ?

\end{exercice}

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\begin{exercice}

Soit la fonction de la variable réelle $x$ définie par :

\[
s:x\to \sqrt{1+\sqrt{1+x}}.
\]

7.1/ Fournir $s'(0)$ en utilisant le développement limité de $s$ à l'ordre 2.

7.2/ Retrouver directement cette valeur.


\end{exercice}


\end{document}
